2017 Fiscal Year Research-status Report
The application of nonsmooth analysis to the collapsing theory and exotic structure
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17K05220
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
近藤 慶 山口大学, 大学院創成科学研究科, 准教授 (70736123)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等(理学), 名誉教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 薄滑解析（Nonsmooth analysis） / 大域リーマン幾何学 / リプシッツ写像 / 沈め込み / 微分構造 / 異種球面 / 微分球面定理 / 最小跡 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，薄滑解析（Nonsmooth analysis）の観点からリーマン多様体上のリプシッツ写像の特異点論を微分幾何学において確立し発展させることであり，そのために次の二つの問題(I)と(II)の解決を目指す：(I) 断面曲率が－1以上かつ直径がある正の定数以下である多様体列{M_i}がアレクサンドロフ空間Xに崩壊するとき，十分大きいiに対してM_iからXへのほとんどリプシッツ沈め込みとなるような写像は存在するか否か；(II) 4次元球面に同相な滑らかな4次元多様体は，4次元球面に双リプシッツ同相か否か．
平成29年度は，(I)の解決に向けて申請時に研究代表者が証明していた定理「コンパクト・リーマン多様体Mからリーマン多様体N（Nの次元はMの次元以下とする）へのリプシッツ写像FがM上にClarkeの意味で特異点を持たなければ，Fを近似する滑らかな沈め込みの族が存在する」についての単著論文の執筆を開始した。同時に証明の点検を学内分担者・中内とのセミナーにおいて行った（現在も進行中）．中内より「リーマン幾何学における薄滑解析の定式化を内在的に整備すべき」旨指摘を受け，その定式化に取り組み成功した．また，崩壊理論に関する知見の情報収集の為，三石氏による集中講義（平成29年10月）を本学において開講した．
一方，(II)の解決に向けて，平成29年度は最小跡が1点となる点を許容するコンパクト・リーマン多様体と放射曲率の関係の研究を行い，定理「もしそのような2つの多様体の（2つの最小点を結ぶ測地線に沿った）放射曲率がL^1ノルムに関して十分近いならば互いに微分同相である」（微分異種球面定理）を得た．この成果を学術論文（田中氏との共同）として取りまとめ，国際学術雑誌に投稿した（査読中）．研究代表者は本成果についての口頭発表を学外分担者・安井が主催するセミナーや日本数学会等で行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
問題(I)に関して，次の2点を理由とし研究は順調に進展していると言える：上記「研究実績の概要」で述べた（(I)の解決の礎になると判断する）沈め込みによるリプシッツ写像の近似定理についての論文の執筆を開始できた点．更に，平成29年度に出版された研究代表者の論文[Nonlinear Anal.155(2017), 219-249]（田中氏との共同）において不満が残っていたリーマン幾何学における薄滑解析の内在的定式化の成功により，薄滑解析の様々な概念（定義や命題）が微分幾何学の範疇で明確に理解および再証明される形となり，結果としてClarkeによる結果がリーマン多様体上で一般化される形となった点．なお，上記の内在的定式化は執筆中の論文内の節「Nonsmooth analysis in Riemannian geometry」として組み込まれている．
問題(II)に関して：上記「研究実績の概要」で述べた微分異種球面定理の位相球面は最小跡が1点となる点を許容する為， 4次元の場合はCerfの結果より標準球面ではあるが，この微分異種球面定理の証明の手法は最小跡が1点となる点を「許容しない」位相球面とそのような点を「許容する」コンパクト・リーマン多様体を放射曲率の立場から比較研究する上での礎になりうる点（すなわち，今後，放射曲率の条件下で段階的（部分的）な解決法を提示できる点）で，研究は順調に進展していると言える．
以上により，本研究課題全体としては「おおむね順調に進展している」と自己評価した．
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| Strategy for Future Research Activity |
問題(I)に関して：上記「研究実績の概要」で述べた沈め込みによるリプシッツ写像の近似定理の応用として，Gromovのイソトピー命題のリプシッツ関数版の証明とその命題を適用したGrove-Shiohamaの直径球面定理の別証明が可能であるので，これら応用も合わせて現在執筆中の論文に（平成30年度の中頃までに）取りまとめ，国際学術雑誌に完成論文を投稿する．一方，上記「研究実績の概要」で述べた三石氏による集中講義への参加によって，近似定理のアレクサンドロフ空間への一般化が当初の見込みよりかなり難しい問題であることが判明したので，先ずは崩壊先がリーマン多様体であるときの薄滑解析の概念を通した崩壊の定義を考察し，この為の崩壊理論の知見の含蓄も目指す．
問題(II)に関して：最小跡が1点となる点を「許容しない」位相球面Mとそのような点を「許容する」コンパクト・リーマン多様体Nの放射曲率がL^1ノルムに関して十分近いという仮定のもと，MとNの間の双リプシッツ同相写像の存在問題を上述の近似定理の適用可能性も視野に考察し，放射曲率の条件下での（部分的な）解決を目指す．この設定において4次元のMの最小跡の構造解明が重要であり，Buchnerの最小跡構造定理が関係すると認められるので，彼の論文[Invent. Math. 1977]を詳細に点検する．また，最小跡についての知見の情報収集を目的に平成30年度は国際研究集会『The Cut Locus』（東海大学札幌校舎，9月）を主催者として開催する．
(II)の解決とは直接的な関係はないと思われるが，学内分担者・内藤との「微分異種球面定理はBergerによる球面に対するBlaschke予想の解決（結果）の一つの弱版を与えている」という議論から，放射曲率の仮定下で他のCROSSにリプシッツ同相な多様体に対しても同様の弱版を考察できないか模索して行きたい．
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| Causes of Carryover |
内訳が物品費8,019円，旅費が25,030円ということで誤差の範囲内である．次年時にそれぞれ物品費と旅費として使用する予定である．
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Research Products
(6 results)
