2019 Fiscal Year Research-status Report
The application of nonsmooth analysis to the collapsing theory and exotic structure
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17K05220
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
近藤 慶 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70736123)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等, 名誉教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 薄滑解析 / 大域リーマン幾何学 / リプシッツ写像 / 微分構造 / 異種構造 / 微分球面定理 / 最小跡 / 折り紙 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，薄滑解析(Nonsmooth analysis)の観点からリーマン多様体上のリプシッツ写像の特異点論を微分幾何学において確立し発展させることにある．その確立と発展を促進させるために次の二つの問題(I)と(II)の解決を目指す:(I) 断面曲率が-1以上かつ直径がある正の定数以下である多様体列{M_i}がアレクサンドロフ空間Xに崩壊するとき，十分大きいiに対してM_iからXへのほとんどリプシッツ沈め込みとなるような写像が存在するか否か; (II) 4次元球面に同相な滑らかな4次元多様体は4次元球面に双リプシッツ同相か否か．
問題(I)に関して：平成30年度にarXiv.org（1811.04340）にアップロードしていた単著論文『Approximations of Lipschitz maps via Ehresmann's fibrations』を学術雑誌に投稿した（現在，査読中）．本論文の主結果は「コンパクト・リーマン多様体Mから連結コンパクト・リーマン多様体N(dim M ≧dim N)へのリプシッツ写像FがM上にClarkeの意味で特異点を持たなければ，Fを近似する局所自明ファイブレーション族が存在する」である．
問題(II)に関して：主張「もし最小跡が1点となる点を許容する二つのコンパクト・リーマン多様体の(2つの最小点を結ぶ測地 線に沿った)互いの放射曲率がL^1ノルムに関して十分近いならば互いに微分同相である」を主結果とする論文『Differentiable sphere theorems whose comparison spaces are standard sphere or exotic ones』が，Kodai Mathematical Journalに受理された．本論文は令和２年度第43巻（pp.349-365）において掲載予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究代表者の令和元年度9月1日における山口大学から岡山大学への転出に伴い，引越し，新天地での家族へのケアおよび岡山大学での教育と研究のための環境整備のため多忙であったことと，令和2年2月からの新型コロナウィルス感染拡大に対する対応に追われたため，活発な研究活動ができなかった．
しかし，平成30年度実施状況報告書の「今後の研究の推進方策」欄で述べたReebの球面定理のリプシッツ関数版を含めた形で単著論文『Approximations of Lipschitz maps via Ehresmann's fibrations』を学術雑誌へ投稿でき，かつ論文『Differentiable sphere theorems whose comparison spaces are standard sphere or exotic ones』がKodai Mathematical Journalに受理された点では，概ね満足できる成果を残せたと考えている．
また，平成30年度同報告書の「現在までの進捗状況」欄において，本研究課題と折り紙理論を適用した偏微分方程式に関するDacorogna-Marcellini-Paoliniの論文[J. Math. Pures Appl. 90 (2008)]との間に強い類似性を発見した旨を報告した．Dacorogna等は，ある陰型偏微分方程式系に関するDirichlet問題のクラスの解を与えるために純な折り紙の研究で良く知られている「川崎(敏和)条件」をn次元ユークリッド空間上で一般化している．そこで本研究とDacorogna等の研究の間にある類似性探究のための知見収集を目的とし，「折り紙理論」の世界的権威・川崎敏和先生の集中講義を開講（平成30年度8月）した．講義から得られた知見と川崎先生との活発な議論を通し，類似性考察のための方向性を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
問題（I）に関して：「現在までの進捗状況」欄で述べた様に研究の進捗は遅れている．しかし，本問題に対し気分を一新するために，あえて新たなアプローチの考察を行いたい，すなわち，本研究課題（薄滑解析の概念を適用したリプシッツ写像の特異点論）と折り紙理論を適用した偏微分方程式に関するDacorogna達の研究との間に横たわる強い類似性の考察を進め，その考察から抽出されるであろう新しい理論が本問題にも可能か否かを試みたい．なぜなら，それが可能であれば従来の崩壊理論とは違ったアプローチを提示でき，また更に本研究が当初の予想を超えた広がりを持つことをも提示できるからである．なお，令和1年度10月に広島大学で開催された「広島幾何学研究集会2019」に出席したおり，同研究集会でご講演された梅原雅顕先生（東京工業大学）との情報交換の中で， 梅原先生も折り紙の研究をされていることをお教え頂いた．互いの研究の対象や手法（スタンス）に違いはあるが，この事実に大変驚くとともに梅原先生らの研究の成果（arXiv:1910.06533, 1911.07166）にも大変大きなショックを受けた．そこで，川崎先生からは純な折り紙理論の立場からアドバイス頂き，また梅原先生からは違う視点に基づくアドバイスを頂きながら類似性の考察を進めていきたい．
問題（II）に関して：最小跡が1点となる点を「許容しない」4次元位相球面の最小跡の構造の解明の遅れを取り戻すために，新型コロナウィルス感染予防対策範囲内で可能であれば関連研究者の招聘，関連研究集会等への参加，その活動が不可能であればオンラインを活用した専門家との活発な議論を通し，この方面および関連領域の研究情報を集中的に蓄積し，遅れを取り戻していきたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大の影響を受け，令和2年3月に出席および講演を予定していた研究集会2件（広島と名古屋）と学会1件（東京）が中止となり，これら出張のための旅費が未使用となったため．
研究代表者の令和元年度9月1日における山口大学から岡山大学への転出に伴い，令和2年度4月より岡山大学大学院自然科学研究科博士後期課程の院生2名の指導を受け持つこととなったので，主に彼らの旅費に使用する予定である．
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Research Products
(12 results)
