2020 Fiscal Year Research-status Report
The application of nonsmooth analysis to the collapsing theory and exotic structure
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17K05220
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
近藤 慶 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70736123)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等, 名誉教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 薄滑解析 / 大域リーマン幾何学 / リプシッツ写像 / 異種構造 / 球面定理 / 最小跡 / 折り紙 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
査読付き学術雑誌に投稿している単著論文『Approximations of Lipschitz maps via Ehresmann fibrations and Reeb's sphere theorem for Lipschitz functions』（arXiv.org：1811.04340）の主結果の系としてリプシッツ関数版のReebの球面定理をある仮定のもとで証明していたが、レフェリーの助言により、Brown [Proc.AMS. (1961)] の結果を適用すればその「ある仮定」を除くことができることが分かった。具体的には「もし閉リーマン多様体がClarkeの意味で特異点を2つしか持たないリプシッツ関数を許容すれば、その多様体は球面に同相である」という主張に改善することができた。この主張の意義は、薄滑解析の概念を適用したリプシッツ写像の特異点論が一般のリプシッツ関数に対するモース理論的体系を導く可能性があることを示唆している点にある。なお、この主張を含む該当論文の修正版は雑誌編集部へ再投稿済みである。
本研究課題に対して新たな視点導入のために始めた折り紙理論を適用した偏微分方程式に関するDacorogna-Marcellini-Paolini [J. Math. Pures Appl. (2008)] の研究と本研究課題の間に横たわる類似性の考察において、Dacorogna達が定義した概念（リプシッツ剛性写像、折り紙写像等）を薄滑解析の概念を用いて剛性に拘らない形で拡張した。この拡張の意義は、折り紙理論が宇宙空間におけるソーラーパネルの折り畳みに実用（三浦折りの応用）されたように、布や伸びる素材に対して新しい折りによる実用の提案ができる可能性を示唆している点にあり、更にリプシッツ写像に対する部分多様体論の体系を導く可能性があることを示唆している点にある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウィルス感染拡大への対応に追われたため活発な研究活動ができなかったが、次の3点から「おおむね順調に進展している」と判断した：
1. 「研究実績の概要」欄で述べた改善されたReebの球面定理の主張は距離関数版から一般のリプシッツ版へ（真に）一般化されたものであり、従ってGrove-Shiohamaの直径球面定理 [Ann. Of Math. (1977)] を含む点。
2. リプシッツ版のReebの球面定理の成立により、薄滑解析の概念を適用したリプシッツ写像の特異点論が一般のリプシッツ関数に対するモース理論的体系を導く可能性があることが分かった点。
3. 薄滑解析の立場からDacorogna達が定義した概念（リプシッツ剛性写像、折り紙写像等）を拡張できるため、研究課題が一般論としてのリプシッツ写像に対する部分多様体論の体系を導く可能性があることが分かった点。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 薄滑解析の概念を適用したリプシッツ写像の特異点論の立場から一般のリプシッツ関数に対するモース理論的体系を検討し、その構築に向けた研究を進め、理論の整備を行い、その後崩壊理論への応用の可能性を探る。また、単著論文『Approximations of Lipschitz maps via Ehresmann fibrations and Reeb's sphere theorem for Lipschitz functions』の結果および今後の理論体系の発展について大きな興味を示しているNeil. N. Katz（The City University of New York）との国際共著に向けた可能性も探って行きたい。
2. 上述のように薄滑解析の立場からDacorogna達が定義した概念（リプシッツ剛性写像、折り紙写像等）を拡張できるため、更に議論を進めてDacorogna達の論文の主結果の一般化についての考察を行う。また、一般論としてのリプシッツ写像に対する部分多様体論構築のための考察も行う。特にリプシッツ写像に対する部分多様体論構築の考察においては、埋め込まれた曲面に対するCalabi-Yau予想の解決に関連したColding-Minicozziによる一連の極小部分多様体上の特異点のPDE的側面からの研究 [Ann. of Math. (2004), (2015)] およびMeeks-Simon-Yauによる埋め込まれた極小曲面と異種球面に関する研究 [Ann. of Math. (1982)] を深く検討し、薄滑解析の概念を用いた特異点理論との融合を念頭に進めて行きたい。その対応策として、Colding-Minicozziによる一連の研究に対する勉強会を学内の偏微分方程式の専門家（谷口、物部）を交えて行っていく予定である。
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| Causes of Carryover |
理由：新型コロナウィルス感染拡大の影響で、令和2年9月に主催者として開催予定であったフランス・ニースでの国際研究集会『Cut Locus』が開催不可能に陥り、渡仏費および若手への旅費援助費が未使用となったため。更に出席予定であった研究集会（広島）と学会2件がオンラインとなり、国内出張のための旅費が未使用となったため。
使用計画：本年度も新型コロナウィルスの影響で研究者との対面による綿密な打ち合わせおよび情報交換を行うことが困難と予想されるため、今後の問題解決のための資料（図書、消耗品等）収集および（PC等が古いため）オンラン対応に適した環境の整備（PCおよびその周辺機器等）に経費を当てて行きたい。
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