2021 Fiscal Year Annual Research Report
The application of nonsmooth analysis to the collapsing theory and exotic structure
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17K05220
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
近藤 慶 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (70736123)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等, 名誉教授 (10127772)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 薄滑解析 / 大域リーマン幾何学 / リプシッツ写像 / 異種構造 / 球面定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は新型コロナウィルス感染拡大のため計画を延長した最終年度であった。当初計画では，研究集会に出席し研究の進展状況を踏まえた今後の課題に関し学外分担者を含む関連研究者と直接意見交換を行う予定であった。しかし当該年度に学科長と専攻長を務め，大学運営に多忙を極めたためその計画を遂行できなかった。このため，旅費を物品費に振り替え，関連書籍を通じた文献調査に注力した。
研究期間全体を通じて実施した研究の成果は以下のとおりである。研究課題は薄滑解析の観点からリーマン多様体上のリプシッツ写像の特異点論を確立し発展させることであり，その促進のため次の問題の解決を目指した：(I)断面曲率が-1以上かつ直径がある正の定数以下である多様体列{M_i}がアレクサンドロフ空間Xに崩壊するとき，十分大きいiに対しM_iからXへのほとんどリプシッツ沈め込みとなるような写像が存在するか；(II)4次元球面に同相な滑らかな多様体は4次元球面に双リプシッツ同相か。
問題（I）では崩壊現象との関係から「コンパクト・リーマン多様体Mから連結コンパクト・リーマン多様体N(dim M ≧dim N)へのリプシッツ写像FがM上にClarkeの意味で特異点を持たなければFを近似する局所自明ファイブレーション族が存在する」ことを示し，応用としてReebの球面定理を一般のリプシッツ関数へ真に一般化した。この意義は薄滑解析の概念を適用したリプシッツ写像の特異点論が一般のリプシッツ関数に対するモース理論的体系を導く可能性を示唆する点にある。問題（II）では計量変形技法とCerfの結果より最小跡が1点となる点を許容しない4次元位相球面の最小跡の構造が問題解決の鍵を握るため，最小跡の構造の決定に取り組んだが難問のため解明には至らなかった。この間に得られた段階的な成果や関連成果については学術論文や口頭発表を通じて公表してきた。
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