2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05221
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
安藤 直也 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (50359965)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Hopf４次微分 / (-k)-写像 / 正則はめこみ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平坦な擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面について調べた。このような曲面上にはある正則４次微分（以下、Hopf４次微分と呼ぶ）を定義できる。空間が４次元Euclid空間である場合、Hopf４次微分が恒等的に零であることと曲面が等方的極小であることは同値である。
今回の研究では、冒頭のような曲面の(-1)-写像というものを定義した。空間の次元をn+2とするとき、(-1)-写像はn次元複素数空間への正則写像である。そしてHopf４次微分が恒等的に零であることと(-1)-写像がある複素２次超曲面に値をとることは同値であることを示した。(-1)-写像がこの条件を満たしかつ恒等的に零でないときに、(-1)-写像から(-2)-写像という(n-2)次元複素数空間への正則写像を定義した。やり方としては同様で、(-k)-写像というものから(-k-1)-写像というものを定義した。(-k)-写像は(n+2-2k)次元複素数空間への正則写像である。
今回の主定理はRiemann面Mの正則はめこみおよびその類似物の特徴づけを与える。FをMの平坦な(n+2)次元擬Riemann空間型への平均曲率ベクトルが零である空間的はめこみとする。Kを(n+1)/2を超えない整数の最大値とする。このときFの(-1)-写像から(-K+1)-写像のいずれかが恒等的に零であるまたは(-K)-写像がある複素２次超曲面（実際には曲線または零元のみ）に値をとることとFと空間の等長変換との合成がF=(F_+, F_0, F_-)または(F_+, F_0, F_-, 0)と表されることは同値であることを示した、但しF_+、F_-はいずれもある次元の複素数空間への正則写像で、F_0は光的法ベクトルにM上の調和関数を掛けたものの組で与えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面をこの上のHopf４次微分の観点で調べることは本研究課題の特色である。上述のような研究成果が得られたことによりHopf４次微分についての理解が深まったことには大変満足しているが、一方で今回の研究成果は当初予期していたものではないため、現時点ではおおむね順調に進展しているという評価が適切であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の研究成果に基づいて、擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面をこの上のHopf４次微分の観点で調べることをさらに推し進めたい。本研究課題においては空間の次元は主に３および４を考えていたが、こうした次元の制約をしないで得られる結果を今後はもっと意識したい。また本研究課題では曲面上に現れる過剰決定系も研究対象であるが、空間の次元を一般にしてそしてHopf４次微分と関連づけて調べたい。当初想定していた論点の解決だけではなくそれらを含む体系的な理解に到達することを目指したい。
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| Causes of Carryover |
当該年度中に物品費および旅費にほぼ使用できたが、残額を使い切るよりも次年度の金額と合わせて使用した方が有効に使えると判断したため、次年度使用額が生じた。
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