曲面上の錐状特異点付きユークリッド構造のモジュライ空間の幾何とトポロジー

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05225
• Research Institution: Josai University
• Principal Investigator: 高山 晴子 城西大学, 理学部, 教授 (90274430)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 錐状特異点 / ユークリッド構造 / 測地的グラフ

Outline of Annual Research Achievements

曲面上の錐状特異点付きユークリッド構造のモジュライ空間の幾何とトポロジーについての研究を引き続き行った。このモジュライ空間は、いわゆる点付きリーマン面のモジュライ空間と同一視されることがTroyanovの結果より知られているが、それはマークされた点付きの曲面に入れる幾何構造の違いから引き起こされている。モジュライ空間の普遍被覆空間であるタイヒミュラー空間上の計量としてよく知られているものにWeil-Peterson計量があるが、この計量に関するWolpertの公式の一般化が近年Fillastre-Seppiによって与えられた。これは曲面に双曲構造を入れたときの単純閉測地線に沿うツイストの無限小変形に対して、単純閉測地線の交点における角度の余弦和として定義されるシンプレクティック形式であるが、Fillastre-Seppiの一般化は単純閉測地線を曲面上の測地的グラフに拡張したことによる。
当該年度は、このFillastre-Seppiの一般化に関連して、錐状特異点付きユークリッド構造の場合に曲面の多角形分割に付随するウェイト付き測地的グラフとタイヒミュラー空間の変形についての考察を進めた。多角形のモジュライ空間の幾何構造については、外角データから得られる面積形式の符号に応じた等質空間の構造が得られるという結果を得ているが、この多角形のモジュライ空間の幾何構造との関係および錐状特異点付きユークリッド構造のモジュライ空間の普遍被覆空間としてのタイヒミュラー空間の幾何構造の構築を試みた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

錐状特異点付きユークリッド構造のタイヒミュラー空間の微小変形について、ある測地的グラフから得られる多角形分割に対して多角形のモジュライ空間の幾何構造を応用する視点を得たため。

Strategy for Future Research Activity

曲面上の測地的バランスグラフのチェッカーボード変換がもたらす測地的グラフの変形に関して得られるリーマン面のタイヒミュラー空間上のWeil-Peterson計量に対するWolpertの公式の一般化を、錐状特異点付きユークリッド構 造のタイヒミュラー空間の場合に、測地的グラフが与える多角形分割によって多角形のモジュライ空間の幾何構造の変形と関連して考察し、Fillastre-SeppiによるWolpertの公式の一般化に対応する錐状特異点付きユークリッド構造のタイヒミュラー空間の幾何構造に関する計量について考察する。、

Causes of Carryover

旅費を海外研究者の招聘のために使用を予定したが、新型コロナウイルス感染予防のためにワークショップが延期になり、海外研究者の招聘が中止となったため予算に余剰が生じた。