2017 Fiscal Year Research-status Report
A study on Saito structure for complex reflection groups
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17K05228
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
三鍋 聡司 東京電機大学, 工学部, 准教授 (30455688)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 斎藤構造 / 複素鏡映群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
斎藤構造とは、多様体の接空間上のある種の平坦構造である。ミラー対称性の研究で重要なフロベニウス構造の下部構造としても現れる。最近新しく発見された斎藤構造を許容する空間の重要な例として、複素鏡映群の軌道空間がある。実鏡映群の軌道空間上に標準的なフロベニウス構造が存在することは、斎藤によって１９７０年代から知られていた。複素鏡映群の場合は、２０１６年に加藤・眞野・関口が、duality groupと呼ばれるクラスの複素鏡映群の軌道空間上に斎藤構造が存在することを示した。この結果に触発され、複素鏡映群の軌道空間上の斎藤構造について、フロベニウス構造の概双対性の観点から研究した。概双対性とは、フロベニウス構造について一般的に成り立つ双対性である。我々は、齋藤構造に対して概双対性を定式化し、 その観点から加藤・眞野・関口の構成がいかに捉えられるかを明らかにした。さらに、応用として、全ての有限既約複素鏡映群に対して、自然な齋藤構造の存在と一意性の問題について解答を与えた（小西、白石両氏との共同研究）。この研究は可積分系や超平面配置の理論と密接に関係しており、今後さらなる発展が期待できる。以上の研究結果についてまとめた論文は、Journal of Integrable Systemsに掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は概ね計画通りに進行しており、研究目標の第一段階は達成しているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
複素鏡映群の軌道空間上の自然な斎藤構造について、その概双対構造を超平面配置の言葉で記述し、可積分系との関連を探る。また、自然な斎藤構造の変形（フロベニウス構造への変形可能性）や、エルミート計量の導入に関しても研究する。
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| Causes of Carryover |
物品費の使用が予定を下回ったため、次年度使用額が発生した。次年度使用額に関しては、数式処理ソフトの購入、および開催予定の研究集会の施設使用料として使用する計画である。
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