A study on Saito structure for complex reflection groups

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05228
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 三鍋 聡司 東京電機大学, 工学部, 准教授 (30455688)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 複素鏡映群 / 斎藤構造

Outline of Annual Research Achievements

複素線形空間の有限自己同型群で、鏡映によって生成されるものを有限複素鏡映群と呼ぶ。有限複素鏡映群の軌道空間（不変式環を関数環とするアフィン多様体）上の斎藤構造と呼ばれるある種の平坦構造が、本課題研究の主要な研究対象である。今年度は、有限複素鏡映群の中の、コクセター群（実鏡映群）、シェファード群（複素正多面体の自己同型群）と呼ばれるクラスの群の場合に、軌道空間上の斎藤構造を詳しく調べた。このクラスの有限複素鏡映群の軌道空間は２種類の斎藤構造を持つ。一つは斎藤、ドブロビンによって構成されていたコクセター・シェファード型の斎藤構造である。もう一つは、加藤・眞野・関口によって構成された自然な斎藤構造と呼ばれるものである。この両者の関係を、斎藤構造の概双対性を用いて調べた。結果は次の通りである。まず、斎藤構造に含まれる積構造については、両者は一致する。一方、斎藤構造に含まれる平坦接続については、コクセター群については両者は一致するが、シェファード群については両者は一致するとは限らない。どのシェファード群の場合に一致するか、シェファード群の分類を用いて決定した。また、自然な斎藤構造がどのような場合に整合的な計量を許容するかも明らかにした。結果は、自然な斎藤構造が計量を許容するのは、それがコクセター・シェファード型の斎藤構造と一致する場合、その場合に限る、というものである。この結果をまとめた論文（小西氏との共著）は現在投稿中である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

必ずしも当初の研究計画の通りではないが、研究の進展に伴って現れる諸課題を着実に解決しながら研究を進めることができていると自己評価している。

Strategy for Future Research Activity

最近佐竹氏によって発見された、鏡映群の不変式の平坦生成系を特徴付ける「良い生成系の条件」という視点を取り入れて、不変式論的観点から研究全体を見直し、残された諸課題を解決する。

Causes of Carryover

研究代表者の病気療養のため研究を計画通りに遂行できない時期があったために差額が生じた。残額は次年度に繰り越した研究計画を遂行するために用いる予定である。