2021 Fiscal Year Annual Research Report
A study on Saito structure for complex reflection groups
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17K05228
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
三鍋 聡司 東京電機大学, 工学部, 准教授 (30455688)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 複素鏡映群 / 平坦不変式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限実鏡映群の軌道空間上に、ある種の自然な平坦構造が存在することは齋藤らによる基本的な結果である。後にドゥブロビンは、この構造をフロベニウス多様体という名で公理化した。この平坦構造の帰結として、有限実鏡映群の不変式環には平坦な不変式から成る特別な生成系(平坦生成系と呼ぶ)が存在することが従う。
擬鏡映（複素ベクトル空間のある超平面を点ごとに固定するような位数有限の線型変換）で生成される複素一般線形群の有限部分群を有限複素鏡映群と呼ぶ。有限実鏡映群の平坦構造を有限複素鏡映群に拡張することは自然な問題である。正確には、有限複素鏡映群の軌道空間上の計量なしの平坦構造を考える。これは、 一言で言えばフロベニウス多様体から計量に関する情報を忘れたものである。有限複素鏡映群の中に双対性群と呼ばれるクラスがある。これらはある意味で良い性質を持つ複素鏡映群であり、有限実鏡映群もこの中に含まれる。近年, 加藤・眞野・関口は双対性群の軌道空間上に計量なしの平坦構造が存在することを示した。その帰結として、双対性群の不変式環に平坦生成系が存在することが従う。
本研究では、加藤らの結果を概双対性の観点から研究し、加藤らが構成した平坦構造の特徴付けを与えるとともに、双対性群以外の有限複素鏡映群に対する平坦構造の存在問題を研究した。また、シェファード群と呼ばれるクラスの複素鏡映群について、ドゥブロビンが構成したフロベニウス多様体構造との比較を行った。加えて、最近佐竹は有限複素鏡映群の不変式環の「良い」生成系を導入し、 有限実鏡映群の場合にそれが平坦生成系を与えることを示している。我々は、これと同様の結果が双対性群に対しても成り立つことを示した。以上が本研究の研究実績の概要である。
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