2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05230
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / モジュライ空間 / 表現論 / 正則写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、研究代表者の構築した一般化されたdo Carmo-Wallach理論において、リーマン多様体からグラスマン多様体のEinstein-Hermite（EH)調和写像のモジュライ空間のコンパクト化を考察するときに現れる退化した調和写像に関する研究を行った。退化したEH調和写像は本理論では像がグラスマン多様体の特別な全測地的部分多様体内の部分集合となる調和写像として出現することを示した。（この全測地的部分多様体はグラスマン多様体の普遍商束の切断の零点集合として特徴づけることができる。）その結果、最も退化したEH調和写像という概念を取り出すことに成功し、この写像をterminal（EH）調和写像と名付けた。すると、terminal-EH調和写像はゲージ同値性を除いて一意的であることを証明できた。またEH調和写像がterminalでない場合には、必ず非自明な変形が存在することも示すことができた。
次に一般化されたdo Carmo-Wallach理論を用いて、ケーラー多様体から複素2次超曲面への正則写像に関する研究を行った。複素2次超曲面の普遍商束の引き戻し束としてケーラー多様体上の正則直線束が得られるが、その正則切断全体の集合Hにも複素構造が誘導される。このとき、複素2次超曲面をn次元実ベクトル空間Wのn-2次元部分空間のなす実グラスマン多様体とみなすと、WはHの実部分空間となる。このとき、WがHの複素部分空間であれば、EH正則写像のゲージ同値類によるモジュライ空間はまた、複素構造を持つことを示せた。先行研究において、像同値類によるモジュライ空間が複素ベクトル空間の一次ユニタリー群による商空間として記述できるという結果が得られていたが、複素ベクトル空間が出現する理由と一次ユニタリー群による商空間として記述される理由をゲージ理論の立場から説明した結果となっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者によって示された一般化された高橋の定理を出発点とする調和写像のモジュライ空間に関する理論のさらなる一般化および、その有効性を示すことの二つを軸とする展開が本研究課題の目的であるが、研究実績の概要でもふれたようにその二つに進展があったので、「順調な進展である」と判断した。以下、理由の詳細を述べる。
先行研究との関連性を考慮した場合、先行結果の拡張や異なる観点からの説明は理論の健全な発展にとってその有効性の重要な判断材料となると思われる。この点において、従来は球面や射影空間などの階数１のグラスマン多様体で「極小等長写像」が主なテーマとなっていたのに対して、Eeinstein-Hermite調和写像を考察すれば、一般の階数のグラスマン多様体が終域であっても理論の拡張が可能となり、必ずしも極小等長写像の一般化が極小等長写像だけではないことを示せたことに意義があると考えている。もちろん、階数が1の場合にはEH調和写像は極小等長写像と一致する。階数が高い場合には必ずしも階数が1の時に有効であった手法が通じないというところに興味深い点が存在するのであり、それを克服するために本研究課題の存在意義があるので、EH調和写像の概念は満足いくものであると思われる。さらに具体的な場合に、モジュライ空間が複素構造を持つことを示せたが、これも写像のゲージ同値性や正則切断のなす空間の重要性など、ベクトル束とその接続が、調和写像の理論だけでは説明できないことを幾何学的に説明することを可能にしたという点において本研究課題の重要性を反映していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題のメインテーマである研究代表者による理論を引き続き研究する予定である。この意味するところは一般論の構築ばかりだけではなく、理論の有効性を示すためにも具体例に対する本理論の適用も考えていきたいということである。また、終域が球面や射影空間の場合の先行研究が膨大であること、そして定義域が実2次元の場合には可積分系の理論とのつながりが深められていることなどがあり、これらの結果と本理論の関連も精査する必要があると考えている。ただし、これまでもそうであったように具体例が一般論の進展にとって不可欠であることは疑いようがなく、階数が1の場合とかなり異なる結果、現象が本研究課題においても出現しているので先行研究のみから一般論を引き出すのは無理である。したがって、具体例の研究は理論の有効性を示すだけではなく、理論の発展そのものに重要な意義を持つ。
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| Causes of Carryover |
共同研究者が久留米高専におり、研究打ち合わせを頻繁に行ってきたが、共同研究者の体調が思わしくないため、打ち合わせを控えたことによる。また校務が年度初めの予想を大きく上回ったため、旅費に関する予定が予想と異なってしまったことにもよる。今後も九州大学や久留米高専における共同研究者や海外の共同研究者たちとの研究打ち合わせを行いたいと考えている。
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