2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05231
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
今野 宏 明治大学, 理工学部, 専任教授 (20254138)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / ラグランジュ部分多様体 / モーメント写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
リッチ平坦ケーラー多様体におけるラグランジュ平均曲率流は，一般に有限時間内で特異点をもつ．したがって，ラグランジュ平均曲率流の挙動を理解するためには，特異点の様子を理解することが重要になるが，その性質は，未だにあまり多くは知られていない．したがって，さまざまな特異点の具体例を構成し，その性質を理解することが大切になる．また，特異点の近くを拡大すると，自己縮小解や平行移動解などが現れるため，これらの自己相似解は特異点の局所モデルと考えられている．
申請者は，昨年度までの研究で，可換リー群がハミルトン的にカラビ－ヤウ多様体に作用しているときに，必ずしも自己相似解とは限らないラグランジュ平均曲率流の例を，モーメント写像を用いることにより構成し，さらにいくつかの具体例において，その特異点の構造を決定した．一方，Joyce-Lee-Tsuiはラグランジュ平均曲率流のさまざまな自己相似解をある常微分方程式を解くことにより構成した．申請者の方法，Joyce-Lee-Tsuiの方法はともにJoyceの特殊ラグランジュ部分多様体の構成方法をラグランジュ平均曲率流の構成方法をそれぞれ別の方向に拡張したものである．そこで，今年度は申請者の方法とJoyce-Lee-Tsuiの方法の間の類似点を徹底的に洗い出し，２つの方法を統合して一般化することを目指した．とくにJoyce-Lee-Tsuiにより構成されたある自己拡大解およびその一般化を，申請者の方法を拡張した枠組みで再構成することを試みた．その結果，Joyce-Lee-Tsuiの構成方法の背景にはある可積分系があり，それを出発点にすると申請者の構成方法との類似性が鮮明になること，特殊ラグランジュ部分多様体のいくつかの独立した構成方法を統一的に説明できること，などがわかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように，昨年度までの研究で申請者によるラグランジュ平均曲率流の具体例を組織的に構成した．この具体例の中には，従来知られていた自己相似解の例も含まれるが，申請者の方法で構成されることにより，これらの自己相似解を見通しよく理解する方法が与られる．一方，Joyce-Lee-Tsuiが構成した自己相似解の中には，手術付きラグランジュ平均曲率流の挙動を理解するための重要な鍵のひとつとなる，ある特別な自己拡大解と平行移動解が含まれている．この自己拡大解と平行移動解は，申請者の構成方法の枠組みには入らないが，申請者の方法で構成されるラグランジュ平均曲率流とJoyce-Lee-Tsuiの方法で構成される自己相似解との間には多くの類似の性質があるのではないか，という漠然とした印象をもっていた．そこで，申請者の構成方法を拡張することにより，その枠組みの中で上記のJoyce-Lee-Tsuiが構成した重要な自己拡大解と平行移動解を再構成して，これらの自己相似解を見通しよく理解する方法を与えよう，というのが今年度の具体的な研究目的であった．そのために，申請者の構成方法と，Joyce-Lee-Tsuiの構成方法の類似点は，Joyce-Lee-Tsuiの構成方法の背景にある可積分系を出発点にすると，明快に説明されることがわかった．その結果，Joyce-Lee-Tsuiの構成した自己相似解の性質の理解の質は向上したと考えている．この点は大きな前進であるが，これらの自己相似解を申請者の方法を拡張した枠組みの中で再構成することには成功しておらず，まだ理解しきれていない性質が残っている可能性もある．
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| Strategy for Future Research Activity |
Joyceはマスロフ類が０の場合の手術付きラグランジュ平均曲率流の全体像を理解するための指針を提案した．その指針において，手術が施される理由は次の４点である：1.opening a neck, 2.neck pinches, 3.stable singularities, 4.collapsing zero objects．1.については，ラグランジュ平均曲率流の微分幾何的というよりも，シンプレクティック幾何的な側面が強い（ただし，ある自己拡大解が重要な役割を演じてはいる）が，残りの３つ，とくに 2. については，ラグランジュ平均曲率流の微分幾何的な性質と言える部分が大きい．申請者によるラグランジュ平均曲率流の構成方法を拡張することにより，2. や 4. のさまざまな具体例が構成されることが期待される．現時点では，2. の具体例で現在知られているものは，大きな群の対称性をもっている特殊な例が中心であるので，その他の例を構成して，性質を調べることは重要なことと思われる．とくにラグランジュ角度は特異点の性質と直接結びつくものであり，この挙動を調べることが重要になる．また，2. の特異点が構成された場合に，その安定性を調べることが重要である．特異点が安定であるとは，初期条件を少し変えても同じタイプの特異点が生じる，ということであり，安定であることは特異点が不可避であることを意味するため，安定な特異点を調べることがとくに重要となる．申請者の方法でこれまでに得られている特異点の種類は，マスロフ類が０でないため，この 1.から 4.のものとは異なるタイプのものであるが，この場合でも特異点の安定性を調べることは重要な問題である．長期的には，ラグランジュ平均曲率流の微分幾何的な性質がシンプレクティック幾何的な性質とどのように関連するか，を調べることがますます重要になると考えられる．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額は０ではないが，０に近い状態である．ほぼ使用計画通りに，研究費を使用させていただいている，と考えている．
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