New development of topological recursion obtained from period integrals

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K05234
• Research Institution: Kisarazu National College of Technology
• Principal Investigator: 田所 勇樹 木更津工業高等専門学校, 基礎学系, 准教授 (10435414)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: リーマン面 / モジュライ空間 / 位相的漸化式 / 周期 / 調和体積 / 写像類群 / 反復積分 / トポロジー

Outline of Annual Research Achievements

リーマン面のモジュライ空間とは，閉リーマン面，つまりコンパクトな複素1次元多様体を双正則同型により同一視した空間である．モジュライ空間は，複素解析学，微分位相幾何学，代数幾何学，物理学など様々な分野において，重要な研究対象とされてきた．本研究の目的は，リーマン面のモジュライ空間の局所的な構造を定量的に理解することにある．また，モジュライ空間に対して自然に定まるヴェイユ・ピーターソン体積は，多くの研究者によって解析されてきた．この体積が満たす漸化式の拡張として位相的漸化式が定まり，物理学者を中心に研究されている．本研究では，曲面の複素構造に依存して定まる周期，調和体積の解析的不変量と位相的漸化式を結びつけることにより，モジュライ空間の局所的な構造の定量的な理解を試みる．
本年度は，非線形シグマ模型を用いた離散リーマン面上のエネルギーに関する共同研究の成果について，以下のように拡張された形で記述した．菱形格子から得られる離散リーマン面上の高次の離散正則べき関数について，そのエネルギーを導出することに成功した．これまでの研究では1次，2次までの離散正則べき関数に関する導出に限られていたが，格子の族を適切に導入することにより，一般の場合に拡張できた．特別なリーマン面の周期計算プログラムを作成したが，うまくいかない場合があり，修正中である．
オンラインの研究集会に多く参加し，いつもより幅広い分野に関する議論ができた．また，研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」を共同でオンライン開催した．