2020 Fiscal Year Research-status Report
pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries
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17K05236
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
足立 二郎 北海道大学, 理学研究院, 理学研究院研究員 (20374184)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Goursat 構造 / 多重ラウンドハンドル / ホモトピー原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，接触構造などの幾何構造に関する微分トポロジーの統一理論の創生を目指すことにある．２０２０年度に行った研究では，まずは昨年度に引き続き，Goursat手術を用いたGoursat多様体の研究を行った．そして，様々なタイプの接分布構造の閉多様体上での存在に関する考察を行った．ホモトピー原理の視点から研究への可能性を探った．
Goursat構造とは，多様体上の２次元の平面場で，Lieかっこ積で次元が１ずつ増えて，接束全体まで次元が上がるものである．とくに多様体が３次元の場合は接触構造であり，４次元のときにはEngel構造とよばれる．接触構造，Engel構造の研究は発展を続ける分野である．Goursat構造の研究は，大域的な幾何学としては今後の発展が重要であると期待される．
本研究の手段の１つは，私自身が導入した多重ラウンド手術である．多重ラウンドハンドルとは，通常のハンドルと高次元トーラスとの積の形をしたハンドルである．昨年度に引き続き，Goursat構造に関する多重ラウンド手術の理論を精密化し応用を考察した．
また別の問題として，様々なタイプの接分布構造の閉多様体上での存在に関する考察を行った．１つは，上記のGoursat構造である．接触構造，Engel構造に関しては，比較的最近に，存在するための多様体の条件が明らかになっている．その証明方法はそれぞれの状況によるものである．本研究では一般の高階の場合について考察をしていて，この分野の研究の展開のために重要である．現在進行中の研究であるため，具体的内容の公表は控えたい．今後も国際共同研究として進めていく．
また，その他様々なタイプの接分布構造の閉多様体上での存在に関する考察を進めている．形式的な構造からのホモトピー原理による近似という方法を１つの道具としている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症の蔓延が，研究の進捗にも大いに影響した．教育方法の多様化により，講義準備や学生対応に費やす時間が飛躍的に増えた．研究時間がほとんど無くなったといっても過言ではない．隙間のほんの僅かな時間に研究を続けようとしたが，計画にはとても追いつかなかったと言わざるを得ない．
研究内容としては，計画を鑑み，さらに一般の構造の研究に舵を切った．内容の厚さでは十分ではないが，停滞せずに前に進めている感はある．時間が取れるようになれば挽回は可能であると分析する．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，研究時間を確保できる状況になることを祈りたい．
Goursat手術の応用に関する考察を，ひとまず纏めたい．先行研究が一段落ついたようなので，それと比較した時に本研究の重要さがさらに明らかになると考えられる．
様々な幾何構造の存在に関しては，それぞれの専門家との共同研究を進めようとしている．直接に会う機会が制限される中，新しい方法を模索しながら進めていきたい．会議システムの利用は，国際共同研究の新たな可能性を拡げるかもしれない．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の蔓延により，研究機会がおおいに制限を受けた．共同研究や，研究成果の発表などのための旅費を予定していたが，使用することはなかった．
今年度，前期は状況に大きな変化はなさそうだが，渡航が可能になれば海外の研究者との直接の議論の機会を持ちたい．特に，アメリカ合衆国の高等研究所 (Institute of Advanced Study) での年間企画 "Special Year on h-Principle and Flexibility in Geometry and PDEs" にはぜひ参加したい．
オンラインによる研究情報の交換や議論のために必要な設備も整えたい．
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Research Products
(1 results)
