2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study on surfaces with singular points and singularity theory
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17K05238
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (80431302)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 特異点論 / 微分幾何学 / 微分方程式 / 枠付き曲面 / 双対性 / クレロー型微分方程式 / アファイン曲線 / 不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
特異点を許容する曲面論と特異点論の研究として、枠付き曲面、１係数族の枠付き曲線により特異点を許容する曲面を捉えることで、ユークリッド合同における完全不変量の定式化を行いました。本理論を用いて、縮閉線、焦面（縮閉面）、包絡線、包絡面、回転面や特異点の判定法、１階常微分方程式、１階偏微分方程式の特異解の特徴づけや特異点の判定に応用しました。また、特異点論の研究として、ラグランジュ特異点論とルジャンドル特異点論の関係性を定式化し、焦面の分岐の分類を行いました。さらに、幾何学的同値関係の研究を行いました。
最終年度に実施した特異点を許容する曲面論と特異点論の研究として、
１．３次元球面内の枠付き曲面の研究を引き続きを行いました。元の曲面と双対曲面の特異点の特徴づけを枠付き曲面の基本不変量を用いて行い、具体例を構成しました。また、特別な双対性の研究を行いました。
２．４次元ユークリッド空間内の枠付き曲面の研究を行いました。基本不変量を導入し、ユークリッド合同による存在と一意性の証明を行いました。
３．アファイン曲線として、付随する枠付き曲線を考え、曲率を導入し、アファイン合同による存在と一意性の証明を行いました。また、縮閉線の定式化を行いました。
４．１階常微分方程式、１階偏微分方程式、１階偏微分方程式系に対するクレロー型方程式を考え、特異解がルジャンドルはめ込みの包絡線、包絡面になることから、特異解の特異点の型の判定法を与えました。
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