2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05239
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目 / Jones多項式 / 体積予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の量子不変量の漸近挙動を，その結び目の補空間の基本群からリー環への表現に付随した位相不変量を用いて表すべく研究を行なった．今年は特に，８の字結び目（補空間に双曲構造が入るもっとも簡単な結び目）とtorus結び目のcable（補空間に双曲構造が全く入らない結び目）の，N次元色付きJones多項式（リー群 SU(2) のN次元既約表現に対応）のリー環 SL(2;C) への表現に関して，具体的な計算を行なった．
８の字結び目に関しては，これまで，N次元色付きJones多項式の変数に1の冪根exp(2πi/N)を代入してN→∞にしたとき，結び目補空間の双曲体積と Reidemeister torsion が得られることが知られていた（体積予想）．また，2πiを複素変数 u を用いて少し動かしたときも，uが定める表現に付随した双曲構造により定まる Chern-SimonsとReidemeister torsion で漸近挙動が記述できることがわかっていた．torus結び目のcableに関しては，逆にuを動かした場合に同様の記述は知られていた．
今年度は，米国テキサス大学のA. Tran氏との共同研究により，８の字結び目については，上述のuの範囲をこれまでに知られていたものより広げることができた．また，torus結び目のcableに対しては，u=0の場合の漸近挙動に関する研究を進めた．ともに，これまでに知られていた結果を拡張するものであり，体積予想の一般化に向けて有益な知見が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
8の字結び目については，A. Tran氏との共同研究ができたおかげで，当初の想定以上の結果を出すことができた．また，torus結び目のcableについては，漸近挙動の位相的な意味を究明するには至らなかった．
以上のことを考えると，本研究はおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
8の字結び目とtorus結び目のcableに関しては，従来の研究方針を続ける．それ以外の結び目について，特に8の字結び目のcableの色付きJones多項式に関する研究を始めたいと考えている．
これにより，体積予想とその一般化に関して新たな知見が得られると考える．
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| Causes of Carryover |
ほぼ計画通りに実施されてきたため残金は少額であり次年度の助成金と併せて効率的に使用するため．
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