2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05239
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
樋上 和弘 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (60262151)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目 / Jones 多項式 / 体積予想 / Chern-Simons不変量 / 基本群の表現 / Reidemeister torsion |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の量子不変量の漸近挙動を，その結び目の補空間からリー環への表現に付随した位相不変量を用いて表すべく研究を行なった．今年度は，8の字結び目のcable 結び目のN次元色付きJones多項式の漸近挙動を詳細に調べた．
特に，米国テキサス大学のA. Tran氏との共同研究により，色付きJones多項式にexp(2πi/N)を代入した量の，Nが無限に大きくなる時の漸近挙動の位相的な意味づけを考察した．漸近挙動には，8の字結び目の体積のみならずcable に応じて符号が現れる．また，結び目補空間のReidemeister torsion と思しき量も現れることがわかった．一方，これらの量の位相的な意味づけとして，結び目補空間の基本群からリー群 SL(2;C)への表現に対応した Chern-Simons不変量とReidemeister torsion の計算を進めており，これらの不変量と上述の漸近挙動の関係を模索している．8の字結び目のcable結び目の補空間には非圧縮トーラスが埋め込まれているため，基本群のみならずChern-Simons不変量やReidemeister torsion といった不変量のふるまいは複雑であり，よく知られていない部分が多い．
また，色付きJones多項式にexp((2πi+u)/N) を代入した値（uは絶対値の小さな複素数）の漸近挙動についても同様の考察を続けている．
8の字結び目のcable 結び目は，非自明なtorus分解を持つ結び目であり，本研究は体積予想とその一般化の解決に向けて新たな試みである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では，色付きJones多項式の漸近挙動という解析的な研究と，その意味付けという位相的な研究が必要である．それに加えて，計算機を使った具体的な数値計算も必要であり，新たな結果を得るには時間がかかる．本年度は具体例に関して最終的な結果が得られたのでおおむね順調と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，本年度に得られた結果を論文にまとめる．
その後，色付きJones多項式にexp((2πi+u)/N) を代入したときの漸近挙動について考察する．
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| Causes of Carryover |
ほぼ計画通りに実施されてきたため残金は少額であり次年度の助成金と併せて効率的に使用するため．
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