2018 Fiscal Year Research-status Report
Linear operators on function spaces and geometric topology
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17K05241
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
川村 一宏 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 可換Banach環 / 極大イデアル空間 / 有理ホモトピー / Ｃ１関数空間 / local isometry |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続いてBanach環の近似従順性について研究した。連続Hochshildコホモロジーのヴァリエーションとして、コサイクル空間を、コバウンダリ空間のstrong operator topologyに関する閉包で割ることによって得られる空間を考察し、それを用いて高次元近似従順性を定義した。新たに定義された高次元近似従順性と従来の近似従順性との関係、および近似対角元による特徴づけについて考察した。
次に単位的半単純可換Banach環の極大イデアル空間の有理係数コホモロジーについて考察した。G. Lupton, N.C. Phillips, C.L. Schochet and S.B. Smithは、単位的可換Banach環の極大イデアル空間の有理係数Alexander-SpanierコホモロジーをBanach環上の正則行列の最終行として現れるベクトルのなす空間の有理ホモトピー群を用いて表した。本研究では彼らの結果の相対コホモロジー版を与えた。そのためにDavieによる極大イデアル空間上の関数空間のホモトピー型に関する結果の相対版を証明し、有理ホモトピー論を用いた。これを用いて極大イデアル空間の有理コホモロジー次元を研究し、正則行列空間のホモトピーの安定化に関わる埋め込み定理を与えた。標語的には可換Banach環の最終行空間の有理ホモトピー群が安定化すれば、ホモトピー群自身が安定化するようなBanach環に埋め込むことができる。
次に単位閉区間上のＣ１関数空間上の２－local isometryに関する研究を行った。古清水直弘氏・三浦毅氏と共同で、Ｃ１関数空間上の2-local isometryは荷重合成作用素であることを示した。その際に単位閉区間上の等長変換群が位数２の巡回群であることを用いて、従来のアプローチとは異なる証明を与えることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Hochshildコホモロジーのヴァリエーション、およびそれを用いた近似従順性の研究は前年度の研究を引き継いでひとまずの区切りをつけることができた。
また極大イデアル空間の相対有理係数コホモロジーを決定するために用いたDavieの定理の相対版、および幾何学的トポロジーにおける有理コホモロジー次元論の応用はともにこの方面における新しいアプローチであり、一定の成果を挙げることができたと思う。また非可換Banach環、あるいはＣ*環に対して新たな次元論を定義するための糸口を与えていると思う。
2-local isometryについての研究アプローチも従来のものとは相当に異なるもので、新たな視点を与えることができたと思う。
一方で線形作用素の力学系的研究においては従来の結果を超えるものを出すことができず、この点において多少の遅れがあると言わざるを得ない。
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| Strategy for Future Research Activity |
極大イデアル空間のコホモロジーを記述する最終行空間はBanach環が非可換であっても定義できるから、一般のBanach環あるいはC*環における”極大イデアル空間の有理コホモロジー”の類似を考察することが可能であり、これを用いて有理コホモロジー次元を定義することができる。しかしながら具体的な非可換Banach環あるいはC*環についての計算にはまだ一切手がついておらず、まずは非自明な計算例を一つ与えることが目標である。これが達成された後resolution theoremの非可換類似を得ることが次の目標となる。
2-local isometryの研究は現在のところ等長変換群が明示的に記述されているような関数空間に限られているが、そうでない関数空間に対しても考察することができる。そのような文脈において等長変換のなす力学系的な結果が2-local isometryにおいてどのような形で成り立つか取るかは興味ある問題である。このような視点から前年度の研究を継続する。
これらの研究を遂行するに当たっては代数的位相幾何学および関数解析学の研究者との研究交流が欠かせないため、研究集会に出席しまた年度のできるだけ早い時期にセミナーを組織して、研究交流を図る。
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| Causes of Carryover |
年度当初に支出を予定していた旅費が支出されなかったこと、および当初に計画していたパーソナルコピュータ（今年度でサポート終了予定）の購入が延期されたことにより、次年度使用額が生じた。今年度早い段階でパーソナルコンピュータの購入を行う。また研究交流のための旅費として支出を計画している。
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