2019 Fiscal Year Research-status Report
Linear operators on function spaces and geometric topology
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17K05241
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
川村 一宏 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Banach環 / Banach-Stone型定理 / Hochschildコホモロジー / 平均次元 / 射影極限 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1．測地的距離空間上のLipschitz環の連続Hochschildコホモロジーおよび大域ホモロジー次元の計算を行った。特にLipschitz関数環上の微分作用素を、 Stone-Cechコンパクト化を活用して研究し、底空間上の連続関数環を係数とするHochschildコホモロジーは無限次元であることを証明した。これはKreshev等によるC1級関数についての結果の、Lipschitz関数環における類似である。
2．羽鳥理・大井志穂氏と共同で、関数環とC*環の単射的テンソル積上の等長写像が一般化された荷重合成作用素としてあらわすことができることを示した。ここでのアイディアはBanach空間における”エルミーと作用素”(Wermerによる）を活用したことにある。
3．可換Banach環の極大イデアル空間の有理コホモロジー次元とバナッハ環上の一般線形群の有理安定化次数についての関係式を得た。得られた知見をもとにC*環の有理安定化次数を考察したが十分に成功してはいない。
4．平均次元は位相エントロピーが無限であるような位相力学系に対して有限の値を与える力学系不変量である。一般化射影極限上に自然に定義されるいくつかのシフト作用素に対してその平均次元を計算し、Erceg-Kennedyの結果を精密にした。
5．Debski, Tuncali, Tymchatyn氏と共同でbonding写像が単体写像であるような射影極限について研究した。位相的完備な空間の閉被覆に対して構成した極限空間から元の空間への自然なホモトピー同値写像が存在することを示した。bonding写像が単体的である射影系の極限に対して組合せ的な議論によって位相空間を離散コード化を行うDebski-Tymchatynのcell-structureとの関係を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Lipschitz環のコホモロジーおよびホモロジー次元の計算、可換バナッハ環の有理ホモトピー的安定化次数と極大イデアル空間の有理コホモロジー次元の関係、また一般化射影極限上のシフト写像の平均次元について明示的計算を行うなど、いくつかの成果を得た。
その一方で無限次元線形作用素の力学系の研究においては、大きな進展が見られずいくつかの小さな注意及びアイディアを得たにとどまっている。このことがやや遅れていると判断する理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Hochschildコホモロジー及び大域ホモロジー次元の計算を他のBanach環において実行し底空間の幾何学的性質との関係を調べる。一般化射影極限のシフト作用素および荷重合成作用素の導く力学系を具体的な関数空間上で考察し、そのエントロピーと平均次元を計算する。関数環の代数的同型写像と底空間の幾何の間の関係を、現在よりも広いクラスの関数環およびcoarse幾何学的な関数空間に対して調べる。Banach環の有理安定化次数を非可換C*間について考察して、他の次元的不変量との関係を調べる。コロナウイルス対応のため当面の間はオンライン通信による情報交換及びインターネット上での情報収集によって研究を継続し、再び集会が可能になった段階での研究集会の開催を計画している。
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| Causes of Carryover |
当初の計画では２０１９年度が最終年度であったが、新型コロナウィルス感染拡大によって予定していた出張・開催予定だったセミナー・研究集会などが中止を余儀なくされたため次年度使用額が生じた。
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