2022 Fiscal Year Annual Research Report
Elucidation of the geometric meaning of surface knot invariants defined by quandles and its application
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17K05242
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| Research Institution | Tokyo Gakugei University |
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Principal Investigator |
田中 心 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (70448950)
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2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 曲面結び目 / カンドル / 結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022(R04)年度は、共同研究者である谷口雄太(大阪大学)氏と、球面結び目の結び目カンドルに関して考察を深め新たな知見を得た。古典的結び目の結び目カンドルと比較すると、球面結び目の結び目カンドルの性質は不明な点が多い。近年、Inoueによって、ファイバー球面結び目の結び目カンドルの構造が明らかにされ、それを踏まえてツイストスパン三葉結び目の構造が詳しく調べられた。我々はツイストスパン三葉結び目だけでなく、一般のツイストスパン結び目を詳しく調べ、それらの結び目カンドルの「タイプ」を決定することができた。これにより、結び目群は同じだが結び目カンドルは異なる球面結び目の例を与えることに成功した。また、結び目カンドルが有限であるようなツイストスパン結び目を分類することもできた。なお、得られた成果を2022年11月に行われた研究集会「４次元トポロジー」や2023年3月に行われた学会「日本数学会2023年度年会」において発表した。
研究期間中に取り組んだその他の課題は、「曲面結び目の橋指数と圭彩色」や「Galkinカンドルの一般化」や「結び目彩色多項式と1-タングルのカンドル彩色不変量の関係」などがある。この中の「曲面結び目の橋指数と圭彩色」については、研究期間中に論文を執筆し、出版することができた。しばらく取り組んでいる「Galkinカンドルの一般化」について、共同研究者である石川勝巳(京都大学)氏とさらなる議論を重ねた。ここで、GalkinカンドルはZ/3Zとアーベル群の直積に入るカンドル構造の事である。また、「結び目彩色多項式と1-タングルのカンドル彩色不変量の関係」についても引き続き考察を続けた。しかし、これらに関する研究はあまり進展しなかった。これらについては今後の課題としたい。
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