2017 Fiscal Year Research-status Report
Applications of Alexander polynomial
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17K05246
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
門上 晃久 金沢大学, 機械工学系, 教授 (80382026)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Alexander polynomial / Reidemeister torsion / Dehn surgery / Seifert fibered space |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ライデマイスタートーションという不変量は有限 CW 複体 に対して定義されるものだが、それを主に三次元多様体の場合に限定して研究している。その計算法は、三次元多様体の絡み目手術表示から、絡み目のアレクサンダー多項式に１の冪根を代入することで不変量の数値を得る。私の一連の研究は、この数値を単なる複素数と見るのではなく、円分体の元として扱うことで、三次元多様体の性質の不変量への反映を精緻に観察することである。この数年は、結び目のレンズ手術とザイフェルト手術に焦点を絞って研究している。初めははほぼライデマイスタートーションのみで結び目のレンズ手術、ザイフェルト手術を研究したが、最近キャッソン＝ウォーカー不変量も併せて条件を求めると著しい結果を得ることがわかってきて、酒井健氏や円山憲子氏と共に研究を進めている。昨年度は一本の共著論文が出版された。彼らとの共同研究の三本目である。
この研究を通して、三次元多様体論に代数的数論を応用する重要性を理解した。実際、円分体の数論を応用することで、ガロア理論とアレクサンダー理論の類似性を直に感じ、最近話題になっている『トポロジーと数論の関連性』の理論をごく自然に受入れる事ができた。昨年度も、この話題の研究集会に参加し、幾人かの人達と議論をし、それが継続中である。過去には二本、その話題で論文を書いている。ともかく、この流れは意義深く、重要な観点であると信じている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文執筆の進展状況はややよくなかったが、研究集会の参加や e-mail 等で議論は多く行った。自身が主催の研究集会も開き、情報収集も怠らなかった。今後への準備段階と位置付けられる時期だと認識している。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究内容はこのまま進めて行く。これまで中断していた研究も再開し、新たな観点で進めたい研究もある。トポロジーと工学や、トポロジーと情報理論を融合させた分野の開発に意欲がある。
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