2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05247
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
森吉 仁志 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00239708)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 指数定理 / 非可換幾何 / シンプレクティック同相群 / カラビ不変量 / K理論 / 巡回コホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」および「葉層多様体や微分同相群が関与する指数定理の展開」を目標とし，指数定理の一般化と微分位相幾何への応用を目指している．2018年度は第一に，指数定理を離散化するという研究方針を掲げて，Ginsparg-Wilson 指数が関与する指数定理および多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジーに関する研究を進展させた．第二に，2017年度に行った完備リーマン多様体から定まる Roe algebra の詳細な研究の延長として，有界コサイクルが関与するリーマン面上の指数定理に関する研究を行った．第三に，本研究の具体的目標のひとつである Godbillon-Vey 葉層特性類，あるいはそのファイバー成分である Bott-Virasoro 類に関連して，中心等積アファイン曲線全体のなす空間上のシンプレクティック構造に関する研究を開始した．この研究においては Bott-Virasoro 類に対応するシンプレクティック型式（Gelfand-Fuchs 2-コサイクル）がモーメント写像と関連して出現し，単位円の微分同相群との密接な関連性が明確になりつつあり，今後の進展が期待される．
これらの成果を，招待講演として以下の国際研究集会： Noncommutative Geometry and Representation Theory, Chengdu, China, May 15, 2018, Symmetries in Symplectic, Contact and Poisson Geometries, Suzhou，China, June 8, 2018, AMS Spring Central and Western Joint Sectional Meeting, Honolulu, HI, USA, March 23, 2019 において報告した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2018年度は研究計画の本段階に進み，「指数定理の導出」および「具体例への適用」をという目的に取り組んだ．2017年度に研究を開始した Ginsparg-Wilson 指数定理は，Fuzzy sphere 上の指数定理を含む具体例への適用が可能となり，2次元球面のシンプレクティック構造との関連性を見出すことが可能となった．また離散化に関連して，多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジーに関する研究が進展した．加えて，有界コサイクルが関与するリーマン面上の指数定理や，中心等積アファイン曲線全体のなす空間上のシンプレクティック構造に関する研究を開始した．後者の研究に関しては，単位円の微分同相群との関連性が明確になりつつあり，今後の進展が期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度は最終年度であるので，「指数定理の導出」および「具体例への適用」という研究目的の完成段階に進む．まず Ginsparg-Wilson 指数が関与する指数定理の定式化を完成させ，具体例として Fuzzy sphere 上の指数定理を精査する．次いで，多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジーに関する研究を完成させる．さらに有界コサイクルが関与するリーマン面上の指数定理の一般化に取り組む．さらに中心等積アファイン曲線全体のなす空間上のシンプレクティック構造に関する研究を推進し，モーメント写像を通じて単位円の微分同相群と関連性を明らかにする．
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| Causes of Carryover |
学内業務のスケジュールと重なり，予定した出張が一部遂行できなかった．
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