2018 Fiscal Year Research-status Report
Homotopy theory of coordinate subspace arrangements
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17K05248
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岸本 大祐 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60402765)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 座標空間配置 / polyhedral product / モーメント・アングル複体 / Davis-Januszkiewicz空間 / ホモトピー論 / 組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）座標空間配置、より一般に、polyhedral productは単体複体の組み合わせ情報をもとに直積空間の族を構成し、それらの和集合として定められる。これらの空間のコホモロジーなどのホモトピー不変量は単体複体の組み合わせ構造を非常によく反映することが知られており、それをもとにそのホモトピー型の研究が行われてきた。本研究では単体複体を一般のポセットへと拡張し、ある種の層の消滅定理を証明することで、ポセットのpolyhedral productのコホモロジーの決定と、Stanley-Reisner環の一般化を提唱を行った。
（２）モーメント・アングル複体からDavis-Januszkiewicz空間への自然な写像は単体複体が単体の境界のとき、高次Whitehad積と呼ばれる高次ホモトピー作用素に他ならないことが知られている。したがって、より複雑な単体複体に関してこの写像が高次Whitehead積を用いて記述できるかという問題が自然に考えられる。単体複体のnon-faceに着目し、双対shellable複体を含むかなり大きなクラスで高次Whitehead積で記述できることを証明し、arXiv（arXiv:1807.00087）に発表した。本研究は入江幸右衛門（大阪府立大学）との共同研究である。
（３）Aberdeen大学からRan Levi教授を招聘し、一般のポセット上のpolyhedral productの基礎理論に関する共同研究（上記（１））を進めた。その際にホモトピー論において最も基本的な構成であるJames構成をpolyehdral productと対称群を用いて調べるという着想を得た。Levi氏は本研究を神経科学においてニューロンのモデルとして用いることを考えており、この応用に関する議論を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）Levi氏と行ってきたpolyhedral productの一般化に関する研究の基礎的部分がある程度完成し、今後の研究へとつながる着想も得た。arXivへ公開したのちに様々なの分野の研究者から多数の反響を得たことから、本研究のインパクトは強いと確信できる。また、今後のpolyhedral productのホモトピー論に関する研究においてひとつの指針を得たと考えられる。
（２）Levi氏との共同研究の核となったある種の層の消滅定理は、これまで知られているものとは全く異なる新しいものであり、今後、Stanley-Reisner環やCohen-Macaulay性の研究へと応用することで、トポロジーのみならず、環論や組み合わせ論へも応用できる。また、この定理をもとにpolyhedraポセットという新しいクラスのポセットを導入したところ、非常に興味深いものであることがわかり、今後の研究へとつながった。
（３）polyhedral productとWhitehead積との関係についての入江幸右衛門氏との共同研究は、同氏との先行研究であるファット・ウェッジ・フィルトレーションの理論が非常に有効に働き、想定以上に一般的なクラスの単体複体に対して結果を得ることができ、先行研究とは一線を画すものとなった。また、この結果はその後の研究にすでに影響を与えており、今後も本研究がかかわるところでは基礎的なものとなることがわかり、さらに、ファット・ウェッジ・フィルトレーションの理論が非常に強力であることが証明できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）polyhedral productを一般のポセットに拡張することでより広い視野からpolyhedral productと組み合わせ構造の相互作用に関する研究を行うことが可能になった。そこで、Levi氏との共同研究で導入したpolyhedralポセットに関する研究を推進する。Stanley-Reisner環をpolyhedralポセットへと拡張する提案を行ったので、今後はその拡張の性質について調べる。また、より一般のlower saturatedというクラスのポセットについても調べたい。
（２）complex of injective wordsと呼ばれる複体は対称群のホモロジー安定性の近代的証明の核となるものである。Levi氏との研究により、この複体の面ポセットに対してpolyhedral productをつくることができ、このpolyhedral productはある空間列で生成される「語」のなす空間だとみなせる。そこで、この空間に適切な対称群の作用を考えることにより、位相的自由モノイドを構成できると考えた。この位相モノイドはJames構成と呼ばれる、ホモトピー論における基礎的な空間である。今後、このJames構成とpolyhedral productの関係を明らかにし、さらにJames構成＝ループ・サスペンションを用いた議論で頻出する対称群との関係を調べる。そして、Hopf不変量などもpolyhedral productと対称群を用いて再構成することにより、すでにpolyhedral productを用いて表されているWHitehead積と合わせてEHP列などの古典的ホモトピー論における基礎をpolyhedral productを用いて再構築する。
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| Causes of Carryover |
２０１８年８月に開催した国際集会「Mapping Spaces in Algebraic Topology」の参加者が欠席したために、その旅費分が次年度使用額が生じた。２０１９年度に開催予定の国内集会「ホモトピー沖縄２０１９」の参加者の旅費へと使用する予定である。
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Research Products
(14 results)
