2020 Fiscal Year Research-status Report
Homotopy theory of coordinate subspace arrangements
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17K05248
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岸本 大祐 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60402765)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 座標空間配置 / polyhedral product / モーメント・アングル複体 / Davis-Januszkiewicz空間 / ホモトピー論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ポリヘドラルプロダクトZ(K;(X,A))は抽象単体複体Kの組み合わせ的な情報を用いて、空間対(X,A)から構成される空間である。ポリヘドラルプロダクトは、座標部分空間配置やその補空間、また、トーリックトポロジーにおける（実）モーメント・アングル複体やDavis-Januszkiewicz空間を含む重要な研究対象である。定義より、ポリヘドラルプロダクトは単体複体Kの組み合わせ的な情報を含んでいる。したがって、与えられたホモトピー論的な性質（例えば、サスペンション空間であるなど）を、ポリヘドラルプロダクトZ(K;(X,A))がみたすための抽象単体複体Kと空間対(X,A)の性質を特定するというのがポリヘドラルプロダクトのホモトピー論における基本的な問題である。
入江幸右衛門氏との共同研究で、コーンとその底との空間対(CX,X)に対して、Z(K;(CX,X))がサスペンション空間となる抽象単体複体のクラスを、fat-wedgeフィルトレーションという手法を確立することにより、いくつか特定し、shellable複体やsequentially Cohen-Macaulay複体のAlexander双対といった重要な抽象単体複体がそのクラスに入っていることを示した。
一方、射影CX-->\Sigma Xがポリヘドラルプロダクトに誘導する写像は、Kが単体の境界のとき、（高次）Whitehead積である。上記の研究で開発したfat-wedgeフィルトレーションを用いて、より一般の単体複体に対して、ポリヘドラルプロダクトとWhitehead積の関係を明らかにし、さらに、Golodやtightと呼ばれる抽象単体複体の代数的・組み合わせ的な性質を、ポリヘドラルプロダクトのホモトピー論を通して研究した。また、これらの結果の一般化を行うための準備も行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウィルス蔓延のため、海外への渡航が不可能となり、海外の共同研究者との研究打ち合わせを直接会って行うことが不可能となったため、いくつかのプロジェクトに遅延をきたしている。オンラインでの研究打ち合わせは時差が大きいため効率よく行えない。また、海外の研究集会等での研究発表も同様の理由で、通常通り行えなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
単体複体のGolod性は、Stanley-Reisner環のある導来代数の積と（高次）Massey咳が全て自明であるとして定義され、古くから盛んに研究される。トポロジカルには、Golod性はモーメント・アングル複体を含むあるファイブレーションのEilenberg-Mooreスペクトル系列によって表すことができる。したがって、Golod性はポリヘドラルプロダクトと深く関係しており、最近行われている、ポリヘドラルプロダクトを用いた研究により、Golod性の理解は急速に進んでいる。
入江幸右衛門しとの共同研究で、曲面の三角形分割のGolod性に関しては、ポリヘドラルプロダクトを用いて、neighborlyという性質により特徴づけた。さらに、一般の２次元単体複体や３次元多様体の三角形分割の、tight性を用いたGolod性の特徴づけにも成功している。今後は、tight性とGolod性の関係を高次元多様体の三角形分割に対して考える。
また、Whitehead積とポリヘドラルプロダクトの研究も推進し、Jacobi恒等式などの一般化をポリヘドラルプロダクトを用いて行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で、国内外における出張が不可能になり、次年度使用額が生じた。
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Research Products
(10 results)
