2017 Fiscal Year Research-status Report

Development and Evolution of Low-dimensional Topology

Research Project

Project/Area Number	17K05249
Research Institution	Nara Women's University
Principal Investigator	小林毅奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00186751)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	三次元多様体 / Heegaard分解 / 結び目・絡み目 / 平面曲線 / 折り紙 / ニューラルネットワーク
Outline of Annual Research Achievements	本研究では次のような目的を設定している．１）三次元多様体論に関する研究に曲線複体の幾何学に関する新しい視点を取り入れることにより，手法の精密化・展開をはかり，この方面の研究に新たな展開・応用を発見する.　２）結び目・絡み目の橋分解に関する研究，特にその同値性に関する研究の精密化・展開を行う.　３）低次元トポロジーにおいてこれまでに得られている様々な手法や成果を折り紙やデータ解析等具体的な対象物に適用し，低次元トポロジーが様々な分野に応用可能であることを示す. １），２）に関しては以前の張娟姫，井戸絢子との共著論文の中で定義した「keenなHeegaard 分解」に対応する概念を結び目・絡み目の一般化された橋分解に対しても定義し，Heegaard分解の場合と同様な結果が得られるかどうか検討し，同様の結果が得られるだろうとの感触を得ている．現在この研究を継続中である．また伊藤昇、橋爪惠、船越紫、村井紘子と共同で平面曲線全体の集合から（ある種の同値関係を経由して）誘導される複体に関する研究を行った．特に交差点の数が８以下の平面曲線が作る部分複体の構造に関して精密な情報が得られたので結果を英文論文にまとめ専門誌に投稿した．３）に関しては，奈良女子大学の大学院生であった法橋厚美によって考案された新しい折り紙の構成法について研究集会や講演会での講演を行い、この折り紙に潜む数学的構造に関する問題提起を行った．またニューラルネットワークに関するこれまでの成果について情報を収集し大学院生とディープニューラルネットワークに関して幾何学的な観点からの研究をおこなった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究の目的１），２）に関してはこれまでHeegaard 分解に対して定義されていた定式化を一般の三次元多様体内の結び目・絡み目に対して拡張した定式化を与え，これに関してHeegaard 分解の場合と同様の結果が成り立つ，との感触を得ることができた．これはこの方面の研究に対する本質的な寄与となりうる結果であると感じている．また伊藤，橋爪，船越，村井と共同で平面曲線全体の集合から誘導される複体に関する研究を行ったが，特にこの研究に於いてこの研究対象に対する基本的な定式化を与えることができたと感じており，これからはこれに基づいて更に研究を深めてゆくことができると思う．この意味でこの研究はこの分野に大きな寄与があったと評価している．また研究目的３）に関しては，ニューラルネットワークに関して，この分野における最近の研究についての様々な情報を集めることができ，先端的な研究を行うための下地を作ることができ，大変有意義であった．以上の点によりここまでの研究は「おおむね順調に進展している」と評価した．
Strategy for Future Research Activity	張，井戸との共同研究でHeegaard 分解に対して定義された，「keenなHeegaard 分解」の概念の類似概念を結び目・絡み目の一般化された橋分解に対しても定義し，Heegaard分解の場合と同様な結果が得られるかどうか検討した結果，同様の結果が期待できる感触が得られたので引き続き研究を行う．また平面曲線全体の集合から（ある種の同値関係を経由して）誘導される複体に関する研究に関しては研究を実施する基盤となる設定ができたので，この上で理論を展開して様々な成果を得ることを目指す．具体的には，(2,n)型のトーラス結び目の射影図を含むクラスが興味深い性質を有しているように感じているので，まずはこの例について研究を行い，それをもとに更に推し進めていきたい．折り紙の研究に関して，折り紙研究グループとの情報の交換を行うなど研究のフィールドを広げてゆくことを考える．特に幾何構造の観点から新しい折り紙の構成方法を探してゆきたい．ニューラルネットワークに関する研究に於いて基本的に概念・最新の研究にについて学ぶことができたので，今後はこの上に位相幾何学的取扱ができるような設定を構築し，これを定式化，研究を実施していくことを考える。