2018 Fiscal Year Research-status Report
３次元多様体のシャドウ複雑度と幾何構造に関する研究
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17K05254
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
古宇田 悠哉 広島大学, 理学研究科, 准教授 (20525167)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 3 次元多様体 / 4 次元多様体 / シャドウ / スパイン / 接触構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可微分 4 次元多様体のシャドウとは，大雑把に述べるとその多様体の局所平坦な 2-骨格のことをさす．シャドウの閉近傍の境界は 3 次元多様体となるため，シャドウにより可微分 3 次元多様体，4 次元多様体双方を組合せ的に表示することができる．シャドウにより記述される多様体の構造は，とりわけ 3 次元双曲幾何学と相性が良いことが特徴的である．各 3 次元多様体，4 次元多様体が許容するシャドウの最小頂点数をその多様体のシャドウ複雑度とよぶ．
本研究では，シャドウ複雑度が小さい 3 次元多様体，4 次元多様体の分類とその性質の考察を行うことを目標にしている．本年度は，直江央寛氏との共同研究において，シャドウ複雑度が 2 以下である非輪状 4 次元多様体で境界が 3 次元球面であるものは標準的な 4 次元球体と微分同相であることを証明した. 非輪状 4 次元多様体で境界が 3 次元球面である 4 次元 2 ハンドル体で標準的な 4 次元球体と微分同相でないものが存在すれば, 直ちに 4 次元可微分ポアンカレ予想の反例を与えることから，この問題は非常にナイーブで重要な問題であるが，この問題に対するシャドウ複雑度に応じた検証という研究の方向性を確立できたことになる．
この他，Sangbum Cho 氏, Arim Seo 氏と共同でトーラス組み紐と (1,1)-結び目に関する論文, Sangbum Cho 氏, Junghoon Lee 氏と共同で 3 次元球面の Heegaard 分解に付随する原始円盤複体に関する論文を執筆し arXiv で公開し，定期刊行専門誌に投稿中である．また, 石井一平氏, 石川昌治氏, 直江央寛氏と共同で正フロースパインと接触構造に関する研究を進めた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
シャドウ複雑度が 2 以下の非輪状 4 次元多様体について，期待通りの結果を得ることが出来た．シャドウ複雑度が 0 の場合, シャドウ自身が 1 点に崩壊可能であったのに対し, シャドウ複雑度が 1 或いは 2 であるシャドウの中には可縮だが 1 点に崩壊可能ではないものが多く存在するため，状況は格段に複雑であった. しかし, この状況においても多面体のトポロジーに関する考察および絡み目のデーン手術に関する既知の深い事実 (Property R) を駆使することにより難点を克服することができた. シャドウ複雑度がより高い多様体に対する同様の問いについては今後の課題としたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
「現在までの進捗状況」で述べたように，研究はおおむね順調に進んでいる．これからの研究の方向として，上記研究から明らかに想定できる拡張の方向の他に，これまでにあまり多くの時間を割くことができていなかった 3 次元多様体のシャドウと安定写像の関連について研究を進めていきたい．シャドウ複雑度が 1 の S^3 内の双曲絡み目，および分岐シャドウ複雑度が 2 であるが安定写像の特異ファイバーの数が 1 本である双曲結び目（いわば分岐シャドウ複雑度が 1+1/2 のクラス）の特徴付けについて考察してく予定である．
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| Causes of Carryover |
西日本豪雨災害の長期にわたる影響の為，予定していた出張が行えなくなったため．次年度は研究打ち合わせ，研究発表のための旅費に使用する．
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