2017 Fiscal Year Research-status Report
Study on geometric properties of quantum invariants of knots and 3-manifolds
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17K05256
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高田 敏恵 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (40253398)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 量子不変量 / 結び目 / ３次元多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の量子不変量の一つである、n-colored Jones polynomialに関する予想「slope conjecture」さらにより強い「strong slope conjecture」について研究を行った。nが十分大きいとき、n-colored Jones polynomialの最大次数と最小次数は、nについての２次の多項式となることが知られており、その2次の係数が結び目の幾何的不変量であるboundary slopeであるというのが「slope conjecture」である。更にそのslope を与える曲面のtopology を1次の係数が与えているというのが「strong slope conjecture」である。実施計画で考えていた、結び目KのWhitehead doubleより、より一般的なtwisted generalized Whitehead doubleについて、Kについてある条件のもとで、「strong slope conjecture」をBaker氏、茂手木氏との共同研究によって証明した。研究成果をカナダにおいて開催された国際研究集会において発表した。更に、他の結び目のクラスである、Mazur doubleについてもある条件のもとで予想を証明した。
また３次元多様体の（Chen-Yangの）量子sl(2)不変量について、田中氏によって得られたskeinをもちいたンズ空間L(p,q)に対する公式の漸近挙動について考察し、(p.q)について条件を課した場合、挙動の結果を推測した。大槻氏との共同研究によってある３つの例外ファイバーをもつある特別なクラスについての漸近挙動についての研究についての成果をフランスで開催された国際研究集会において発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
slope conjectureについては、計画よりより一般的な結び目について、証明するとともに、より強い予想についても、証明できた。また、計画では考えていなかった結び目のクラスについてもslope conjecture を証明することが出来た。
レンズ空間の量子不変量の漸近挙動について挙動が予想できる結果を得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度におけるtwisted generalized Whitehead doubleについて、Kについてある条件のもとで、「strong slope conjecture」をBaker氏、茂手木氏との共同研究によって証明したがその際、除外した場合にも興味深い幾何的な情報が含まれている可能性があることわかった。その研究を進展させ、他の予想についての解決を試みる。前年度に引き続きMasur doubleについて「strong slope conjecture」の証明を目指す。また最近、発表されたLee氏のcolored Jones polynomialの最大次数、最小次数に関する公式を用いて、他の結び目のクラスについてのslope conjectureの解決をめざす。
未解決の8交点をもつ双曲結び目のKashaev不変量の漸近挙動について、 現在すでに得ているKashaev不変量の公式、(これまでの証明方法で必要とされた) 計算結果をもとに予想の解決をめざす。特に、8交点においてはじめて現れる非交代結び目について予想の解決をめざす。
また、３次元多様体の（Chen-Yangの）量子sl(2)不変量について、レンズ空間L(p,q)に対する前年度の結果から、その漸近挙動を明らかにする。大槻氏との共同研究によってある３つの例外ファイバーをもつある特別なクラスについて他のクラスの漸近挙動についての研究を行う。
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| Causes of Carryover |
海外出張において、開催国より、滞在費が支給されたため、予定より、旅費の額が少なく、残額が生じた。残額は、本年度の旅費に当てる予定である。
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