2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on geometric properties of quantum invariants of knots and 3-manifolds
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17K05256
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高田 敏恵 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (40253398)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 量子不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目の量子不変量の一つである、n-colored Jones polynomialに関する予想「slope conjecture」さらにより強い「strong slope conjecture」について研究を推進した。nが十分大きいとき、n-colored Jones polynomialの最大次数と最小次数は、nについての２次の多項式となることが知られており、その2次の係数が結び目の幾何的不変量であるboundary slopeであるというのが「slope conjecture」である。更にそのslope を与える曲面のtopology を1次の係数が与えているというのが「strong slope conjecture」である。結び目Kのcablingによって得られる結び目についてのslope conjectureについてのkalfagianiiとTranによる証明にミスがあることがわかり、前年度その証明の修正を行ったが、さらにkalfagianiiとTran の論文に書かれていた周期が2より大きい結び目についても修正を行い、元の結果の一般化を得ることができた。その結果を大阪、秋田、京都における研究集会において発表した。発表において、strong slope conjectureをみたす具体的な曲面を構成し、理解を深めた。前年度まで考えてきたWhitehead doubleはsatellite 操作の一つであるが、Mazur doubleというsatellite 操作がある。その曲面の構成の部分に関して、より明確なデータを構築した。
また３次元多様体の（Chen-Yangの）量子sl(2)不変量について、田中氏によって得られたskeinをもちいたンズ空間L(p,q)に対する公式の漸近挙動に関する結果をより明確な公式に改良することができ、論文としてまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Kalfagianni, Tranの証明にミスがあり、その結果をもちいたgraph knotのstrong slope conjectureの証明の修正とともに、さらに周期が2より大きい結び目について一般化した結果得ることができ、この結果は今後の研究の推進に役立つと思われる。また、Whitehead double とは異なるsatellite操作であるMazur doubleについて、そのJones slopsのふるまい、strong slope conjectureの遺伝についても結果をえた。これらの手法は他のsatellite操作によって得られる結び目のn-colored Jones polynomialの公式を与える手法、strong slope conjectureの研究の手がかりとなると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
どのような結び目が、Cabling についての証明において追加した条件をみたす研究する。そのような性質を満たす結び目のクラスを発見できれば、それらの結び目にわれわれの結果を適用することにより、strong slope conjectureを満たす結び目の広いクラスを求めることができる。前年度に引き続きMazur doubleについてstrong slope conjectureについて得た結果を論文にまとめる。また他の結び目操作特にsatellite操作のもとでのstrong slope conjectureについて研究をおこなう。さらに、strong slope conjectureを満たす結び目は、本質的曲面の情報以外の、どのような幾何学的性質を持つのか、どのような他の情報をもっているのかも調べたい。
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| Causes of Carryover |
本年度、海外出張の予定が入り、その旅費のため多く繰り越しことにした。
残額は、本年度の旅費に当てる予定である。
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Research Products
(4 results)
