2017 Fiscal Year Research-status Report
Algebraic topology of quandles, and its application to low dimensional topology
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17K05257
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
野坂 武史 東京工業大学, 理学院, 准教授 (00646903)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 数学 / 幾何学 / トポロジー / 結び目 / カンドル / べき零 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、相対基本ホモロジー３類に関する2次元的還元法をを中心に研究し、その成果を論文として発表した。今年度の補助金は、主に本研究を遂行するための文献購入費と出張費に当てられた。主な研究実績は以下の３点である。
(I)相対基本ホモロジー３類について、一通りの結果を得ることが出来, arxivに掲載し、現在投稿中である。この論文では、まず(i)カンドルのホモロジーに帰着する事で、2次元に還元する方法を確立し、次に(ii)相対群ホモロジーへの結びつきを入念に調べた。その際に、Malnormalという性質が鍵を成しているため、Malnormal性と3次元多様体のJSJ分解構造との関連を詳しく検討した。得られた主結果は先行結果(例えばInoue-Kabaya氏の結果など)を一般化する内容になっている。また具体的な計算例も与えることが出来た。
(II) 他方の計画であったトリプルカップ積については、「Twisted cohomology pairings of knots III; triple cup products」という題名で論文を執筆中である。Chern-Simons形式の様に, 3重線形形式からトポロジカルな量を取り出すものである。その際に、任意の局所系係数のコホモロジーに適用できるように、一般化した。その後に、3次形式から量を抽出する試みを幾らか行った。しかしまだ面白い例が出来ていない為、(非自明かつ興味深い)計算結果が与えられば、論文として完成し公表する予定である。
(III) カンドル理論をまとめた本「Quandles and Topological Pairs」を、Spriger社から出版した。カンドル理論とその応用を手短に学ぶことが出来るため、カンドルの普及効果が期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書の計画に記した通りの方針(例えば、Malnormal性やInoue-Kabaya鎖写像)に基づき、研究を行ったところ、予想通りの結果を得ることが出来た。さらに、或る3次カンドルホモロジーについて(ある良い条件下での)同型性を示せたことは、予想以上の進展であった。その方針は、カンドルの有用性を示唆するものであった。
他方で、トリプルカップ積については、一般的な定理や計算法を与える事に、計画通り成功した。しかし興味深い例を与える事が出来ておらず、来年度もその研究を継続する予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の様に、29年度の予定にあった内容は、ほぼ満足する結果を得ることが出来た。30年度では、この研究で調べた結果を、30年度の計画「ミルナー不変量とOrr不変量」への研究を深める予定である。
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| Causes of Carryover |
本年度は、カンドルの研究に一定のめどが生じた為、予定であった必要な図書の購入など取り止めた。
しかし、来年度にはべき零的な研究を深めるため、使用計画として、予定通り、他の図書を(物品費として)購入する予定である。
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