2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05259
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 結び目 / ４移動 / ２次元リボン結び目 / ねじれAlexander多項式 / ファイバー結び目 / ２重ケーブルジョーンズ多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．４移動は結び目の図式において，平行な２本のひもからなるタングルがあったとき，4交点からなる整数タングルに置き換える，または，その逆の局所変形である．同様にして，各自然数nに対してn移動も定義できる．特に２移動は交差交換と同値な変形である．すべての結び目は４移動の列で自明な結び目に変形することができるかという問題（中西予想）は未解決である．この研究では，与えられた結び目が何回の４移動で自明な結び目にできるかという４移動結び目解消数，さらに，与えられた２つの結び目が４移動を何回おこなうことで移り合うかという４移動距離について研究した．結び目解消数，交差交換距離（ゴルディアン距離）の類似である．下からの値の評価に関していくつかの代数的な条件が得られた．これをもとに9交点までの結び目の４移動結び目解消数も調べた．
２．２次元リボン結び目のSL(2,C)表現に関するねじれAlexander多項式に関して次の結果を得た．（１）ねじれAlexander多項式は一般に有理式で定義されるが，多項式となるための十分条件を与えた．（２）フュージョン数が１のリボン結び目がファイバー結び目になるためのねじれAlexander多項式の必要条件を与えた．これにより，通常のAlexander多項式による必要条件ではファイバーかどうか不明な無限個のリボン結び目がファイバー結び目でないことを示すことができた．（３）フュージョン数が１のリボン結び目の分類にとりかかった．特に異なるリボン表示をもつが同型になるリボン結び目の例を新たに発見した．
３．結び目を２重ケーブル化した２成分の絡み目のジョーンズ多項式はもとの結び目のKauffman多項式から得られることが知られている．16交点までの素な結び目では，２重化したJones多項式が同じならKauffman多項式も同じになることをコンピュータで確かめた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当研究の当初の研究課題は結び目，絡み目の局所変形であった．具体的には以下の３種類の局所変形の研究である．（1）整合的バンド手術．（2）結び目の非整合的バンド手術であるH(2)移動．（3）交差交換．それぞれの局所変形により与えられた２つの結び目，絡み目は移りあうことが知られている．そのときのそれぞれの局所変形の最小回数を結び目，絡み目の間の『距離』と定義して，小さい交点数の結び目，絡み目の間の距離を求めることが具体的な問題となる．
2018年度は，これらの局所変形に対して，研究概要で述べたように，新たに４移動について成果を与えることができたが，この研究に関連した，２次元リボン結び目とそのねじれAlexander多項式，２重ケーブルのジョーンズ多項式に取り組む時間が多くなり，当初の計画よりやや遅れたと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
2018年度におこなう予定であった部分について再度研究を進めていくことにしたい．
１０交点までの結び目に関して，素な結び目についてH(2)結び目解消数を求めたが，合成結び目についてもH(2)結び目解消数を求めることにより，１０交点までの結び目のH(2)結び目解消数の表を作成して論文として発表したい．
１０交点までの結び目に対して，Darcy(1997年)，Moon(2010年)が結び目の交差交換距離の表を発表しているが，この表の改良を試みたい．すなわち，Darcy，Moon以降に，Alexadner多項式，あるいは，その他の多項式不変量の特殊値を用いた交差交換距離の下からの評価が，いくつか開発されているが，それらを適用することにより，この表を見直していきたいと考える．また，上からの評価も仔細に検討する予定である．
この研究に関連して，２次元リボン結び目の分類問題と２次元リボン結び目のねじれAlexander多項式についても研究を進めたい．
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| Causes of Carryover |
両親の介護等の私的事情により，研究集会への出席が不可能になった場合があった．次年度は，研究協力者，指導している院生も含め，できるかぎり研究会等に出席する予定である．
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