2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05259
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 結び目 / ２次元リボン結び目 / リボン結び目表示 / 分岐被覆空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
４次元球面内の２次元球面の埋め込みである２次元結び目の特殊なクラスである２次元リボン結び目の分類の研究をおこなった．(1) フュージョン数が１のリボン結び目の分類．リボン交点数が６までの結び目の群については，高橋功多が2014年の修士論文において分類をおこなっている．今回は，さらに結び目の同位類に関する分類をおこなった．高橋は，Alexander多項式，結び目群のSL(2,C)既約表現とそれに関するねじれAlexander多項式を用いた．とくに，SL(2,C)既約表現が有限個か無限個かでも分類をおこなっているが，既約表現のトレース集合の個数やその値が，フュージョン数１の２次元リボン結び目の位相不変量になることを利用することで，このクラスをより容易に分類することに成功した．また，高橋はこのクラスにおいて，２組の同型な結び目群をもつ２次元リボン結び目を発見しているが，トレース集合による分類も可能であった．その際，ねじれAlexander多項式では分類不可能であるという事実は興味深い．これらの組については，４次元球面の３重巡回分岐被覆空間の基本群によっても分類可能であった．(2) フュージョン数１リボン交点数７までの結び目の同位類に関する分類をおこなった．方法は(1)と同様であるが，リボン結び目表示が異なるが同型になるような場合が多数現れた．そのような例は，安田智之の報告があるが，この研究の過程で，一般化した同型公式を発見した（大学院修士課程の松田将史との共同研究）．(3) 上記(1)において，結び目群は同型だが異なる２次元リボン結び目の存在を述べたが，Suciuは1985年に無限個の結び目群が同型な２次元リボン結び目の例を構成している．これらは２次元ホモトピー群により分類されているが，４次元球面の３重巡回分岐被覆空間の基本群による分類も可能であることを発見した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当研究の当初の研究課題は結び目，絡み目の局所変形であった．具体的には以下の３種類の局所変形の研究である．（1）整合的バンド手術．（2）結び目の非整合的バンド手術であるH(2)移動．（3）交差交換．それぞれの局所変形により与えられた２つの結び目，絡み目は移りあうことが知られている．そのときのそれぞれの局所変形の最小回数を結び目，絡み目の間の『距離』と定義して，小さい交点数の結び目，絡み目の間の距離を求めることが具体的な問題となる．2019年度は，これらの研究よりも，リボン結び目の分類問題に取り組む時間が多くなり，局所変形に対しては特段の研究成果を与えることができなかった．それに替わって，２次元リボン結び目の分類問題に関する研究成果は得られたが，当初の計画よりやや遅れたとするのは仕方ない．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度におこなう予定であった部分について再度研究を進めていくことにしたい．
１０交点までの結び目に関して，素な結び目についてH(2)結び目解消数を求めたが，合成結び目についてもH(2)結び目解消数を求めることにより，１０交点までの結び目のH(2)結び目解消数の表を作成して論文として発表したい．
１０交点までの結び目に対して，Darcy(1997年)，Moon(2010年)が結び目の交差交換距離の表を発表しているが，この表の改良を試みたい．すなわち，Darcy，Moon以降に，Alexander多項式，あるいは，その他の多項式不変量の特殊値を用いた交差交換距離の下からの評価が，いくつか開発されているが，それらを適用することにより，この表を見直していきたいと考える．また，上からの評価も仔細に検討する予定である．
また，2019年度にはじめた２次元リボン結び目の分類問題や２次元リボン結び目のねじれAlexander多項式の研究もさらに進めたい．
さらに，高分子のトポロジーへの応用が期待される空間グラフの位相不変量，とくに，多項式不変量について，あらたに研究を開始したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
親の介護等の私的事情により，研究集会への出席が不可能になった場合があった．また，新型コロナウイルスのため取りやめになった研究集会もあった．次年度は，研究協力者，指導している院生も含め，可能な限り研究会等に出席する予定である．また，コンピュータを新たに買い換えたいと考えているので，その費用が必要となる．
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Research Products
(5 results)
