2017 Fiscal Year Research-status Report
The Chow ring and cycle map of the classifying space of a linear algebraic group
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17K05263
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
亀子 正喜 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50270343)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 分類空間 / チャウ環 / サイクル写像 / コホモロジー / スチーンロッド代数 / モチービックコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017年度の実績は以下の通りである。
(1) 2012 年に出版された論文 "Chern classes and generators" は係数体の標数が 2 のときの例外群の分類空間のチャーン類についてのものであった。これと類似の問題を標数が奇素数のときに研究し結果を得た。この結果をまとめて論文 "Mod 3 Chern classes and generators" を書き上げた。この論文をプレプリントサーバー arXiv にアプロードした上で学術雑誌 Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. に投稿していたがこれが受理され2017年7月に出版された。
(2) 基本アーベル 2-群の分類空間のモチービックコホモロジーのモチービックスチーンロッド代数上の加群としての生成元について研究した。モチービック版のヒット問題を考えてこれを研究した。ヒット問題でピーターソン予想と呼ばれていた基本定理のモチービック版を研究し、ピーターソン予想のモチービック版が成り立たないことがわかったのでこの結果をまとめて論文 "On the motivic Peterson conjecture" を書き, 2017年10月にプレプリントサーバー arXiv にアップロードした上で学術雑誌 Homology, Homotopy and Applications に投稿した。これは2018年4月に受理された。
(3) Gereon Quick の2016年11月に arXiv にアップロードされたプレプリント "Examples of non-algebraic classes in the Brown-Peterson tower" は Atiyah と Hirzebruch の整数係数ホッジ予想の反例の構成の一般化である。この結果の non-torsion の場合に拡張して論文 "Non-torsion non-algebraic classes in the Brown-Peterson tower" を書きプレプリントサーバー arXiv にアップロードした。学術雑誌にも投稿しているがこれは2018年5月1日時点で審査中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究結果が論文にまとまりそれが査読付き学術論文として受理、掲載されているという点で成果はあがっている。また新しい展開の着想が得られているという点では予想以上に進捗しているということができる。
(1) 論文 “Mod 3 Chern classes and generators” が Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. で出版された。
(2) 論文 ”On the motivic Peterson conjecture“ が学術雑誌 Homology, Homotopy and Applications に受理された。
(3) 論文 "Non-torsion non-algebraic classes in the Brown-Peterson tower" をプレプリントサーバー arXiv にアプロードした上で学術雑誌に投稿した。
かつて取り組んでいた基本アーベル 2-群の分類空間のコホモロジーのスチーンロッド代数上の加群としての生成元について問題（ hit problem ）をモチービックコホモロジーの枠組みの中で再考してみると古典的な Wood の定理（ Peterson 予想と呼ばれていた）が成り立たないことが判明した。これは新しい展開への第一歩となる可能性がある。
当該研究の研究目標の一つとして特殊線型群の中心の部分群による商群の分類空間のチャウ環の計算をあげていたが Non-torsion non-algebraic classes の論文では特殊線型群の中心の部分群による商群の分類空間用いているという点で研究課題と近い新しい展開であるといえる。より具体的な研究目標として掲げていた SL_3 の２つの直積の位数３の中心の部分群による商群の分類空間のチャウ環の計算自体は達成されていないがそれ以上の成果が上がっているといえよう。
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| Strategy for Future Research Activity |
Gereon Quick は基本アーベル p-群の分類空間の truncated Brown-Peterson コホモロジーについて調べることにより Atiyah と Hirzebruch の整数係数ホッジ予想の反例となる torsion non-algebraic なコホモロジー元の構成の一般化が可能であることを示した。研究代表者は基本アーベル 2-群を特殊線型群 SL_2 の直積の位数 2 の中心の部分群による商群で置き換えることにより non-torsion non-algebraic なコホモロジーの元の構成に成功したがこの研究を通して特殊線型群 SL_p の直積の位数 p の中心の部分群による商群がコンパクトリー群での基本アーベル p-群の役割を果たしうるのではないかとの着想を得た。この可能性についても探求してゆきたい。
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| Causes of Carryover |
研究課題「対消滅スペクトル系列と分類空間のコホモロジー」に時間と労力を取られ本研究課題の開始がやや遅れてしまった。次年度使用額は主として研究集会等への参加、研究打ち合わせのための旅費として使用するが新しい分野への応用の可能性がひらけてきているのでこの方向への研究の展開のために資料等の購入（物品費）にも充てる予定である。成果発表（論文のオープンアクセス化等）のために使用する可能性もある。
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Research Products
(5 results)
