2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05265
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| Research Institution | Osaka Electro-Communication University |
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Principal Investigator |
中村 拓司 大阪電気通信大学, 工学部, 教授 (60382024)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 結び目 / 局所変形 / Alexander多項式 / Jones多項式 / 仮想結び目 / ねじれ多項式 / 3次元多様体 / フロースパイン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は結び目図式における局所変形を通して，結び目の幾何的性質と多項式不変量の関係を明らかにすることである．特に局所変形１回で解ける結び目の多項式不変量の実現問題の解決・特徴付けを行ない，その局所変形が与える結び目の幾何的・代数的性質の関連性を明らかにする．また，多項式不変量を常に一定に変化させる局所変形の開発を行ない，この局所変形を通して，結び目の幾何的・代数的性質の関連性を明らかにし，結び目理論に新しい展開を与えることも目的の一つである．
本年度は特に石井一平氏，斎藤敏夫氏との共同研究として，有向閉3次元多様体を表す仮想結び目図式に対する局所変形と不変量の研究を行った．有向閉3次元多様体はその非特異フローから構成されるフロースパインという構造を持つことが知られている.そこからその有向閉3次元多様体を表すE-cycle付きDS-diagramというグラフが構成される．さらにそのE-cycle付きDS-diagramから形式的に仮想結び目図式を構成することができる．この仮想結び目図式について，もとの有向閉3次元多様体の同値を特徴づける局所変形も知られており，今回はその局所変形での彩色不変量を構成した．この不変量は比較的計算がしやすくレンズ空間L(p,1)や，3次元球面とポアンカレホモロジー3球面を分類する．この成果は現在論文にまとめている．この成果には本研究課題を通してこれまでに得た結び目の局所変形に関する知見が活かされたと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結び目のいくつかの局所変形について，同時並行で研究を進めているが，本年度は特に3次元多様体を表す仮想結び目図式に対する局所変形と不変量について新たな知見を得た. 結び目の局所変形に対し，当初計画にはない視点からの成果が得られており，その分，研究計画に変更が生じている．この新たに得た視点も当該研究計画に十分応用できると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）通常の結び目について，パス変形に関するConway多項式の実現問題について研究する．これまでの研究で，溶接結び目に関しては新たな展開が得られたので，それを通常の結び目について応用させる．
（２）新たに得られた3次元多様体を表す仮想結び目図式の局所変形について，Jones多項式など既存の仮想結び目不変量の変種を開発し，Jones多項式などオリジナルの不変量の局所変形に関する研究に応用させる．
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| Causes of Carryover |
結び目の局所変形，特に仮想結び目の局所変形の研究に関して，有向閉3次元多様体との関連で予期していなかった進展があり，本来の計画にはないアプローチでも当初問題に取り組むという計画変更が出たため．また，業務多忙のため予定していた研究出張に行くことができなかったため．
図書の購入と研究出張に使用する予定である．
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