Studies on geometry and algebra of knots and local moves

2020 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K05265
• Research Institution: University of Yamanashi
• Principal Investigator: 中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 結び目 / 局所変形 / Conway多項式 / パス変形 / 仮想結び目 / 溶接結び目

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は結び目図式における局所変形を通して，結び目の幾何的性質と多項式不変量の関係を明らかにすることである．特に局所変形１回で解ける結び目の多項式不変量の実現問題の解決・特徴付けを行ない，その局所変形が与える結び目の幾何的・代数的性質の関連性を明らかにする．また，多項式不変量を常に一定に変化させる局所変形の開発を行ない，この局所変形を通して，結び目の幾何的・代数的性質の関連性を明らかにし，結び目理論に新しい展開を与えることも目的の一つである．
最終年度は, パス変形に関するConway多項式の実現問題について，これまでの研究で得た溶接結び目における成果を踏まえ，その発展と通常の結び目への応用を研究した．これまでに構成したConway多項式の2次の係数が１で他の係数は任意に選べるパス変形１回でほどける溶接結び目から2次の係数が1以外にもできるような溶接結び目の構成，Conway多項式の2次の係数が偶数で他の係数は任意に選べるパス変形１回でほどける通常の結び目の構成をこれまで本研究で得た局所変形の知見を活かし試みた．計算機実験により，これまで知られているもの以外の通常の結び目に関する具体例を散発的であるが得ることができた．この課題については今後も研究を継続したい．
研究期間全体を通し，本研究では局所変形と結び目・仮想結び目の幾何と不変量の関係をいくつか明らかにした．特に溶接結び目に対するパス変形に関する知見と技術を得たこと，仮想結び目のねじれ多項式を変えないシェル変形に関する知見と技術を得たこと，3次元多様体を表す仮想結び目図式の不変量を局所変形を通して得たことは今後の研究につながると考えている．