2022 Fiscal Year Research-status Report
Algebra of measured groupoids
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17K05268
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
木田 良才 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90451517)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 離散群 / 軌道同型 / 測度同値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可算群による標準確率空間への保測作用から構成される、測度付き同値関係および測度付き亜群は、保測作用に対する軌道同型の研究において基本的な概念である。実際、二つの作用が軌道同型であることは、それからできる同値関係が同型であることに言い換えられる。本年度は測度付き同値関係の樹系 (treeing) に関する研究を行った。樹系とは、いわば、測度付き同値関係に対する、群の自由生成系の類似物である。測度を使って定義される樹系の大きさ (コストとよばれる) が、測度付き同値関係の同型不変量であることが2000年頃に示されて以来、樹系は軌道同型の研究において重要な役割を果たしている。実際この結果により、異なる階数の自由群の自由保測作用は互いに軌道同型になり得ないことが従う。
過去の研究でバウムスラッグ・ソリター群に対して行った樹系の構成を、次に述べるようなHNN拡大Gに対するものに一般化した。Eを可算群とし、Eの二つの有限指数正規部分群の間の同型写像から構成される、EのHNN拡大をGとする。このような群Gの標準確率空間Xへの保測作用で、Eの作用がある周期的条件を満たすものに対し、Gの作用からできる亜群が、Eの作用からできる亜群を正規部分亜群として含むこと (EがGの正規部分群であるとは限らないにもかかわらず)、そして、その商亜群が樹系をもつことを示した。この構成の応用として、バウムスラッグ・ソリター群のモジュラー準同型の核が無限階数の自由群とZの直積と軌道同型になるという過去の結果を、Z^nの同種のHNN拡大に対するものに一般化した。同様の結果を、一般バウムスラッグ・ソリター群をはじめとするグラフ群に一般化することは今後の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の結果を論文にまとめ、arXivで公表した。当初の目標であった、バウムスラッグ・ソリター群を軌道同型で分類するという問題に、上記の結果は直接の貢献をもたらすものではないが、可算群の間の非自明な軌道同型を示す、一つの手法を確立できたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般バウムスラッグ・ソリター群をはじめとするグラフ群への一般化に関しては、今回適用したinductionとよばれる樹系を扱う手法を、もう一段階適用すれば望む結果を得られるものと考えている。
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| Causes of Carryover |
大学での業務により、成果発表と情報収集のための出張の機会が減ったため。次年度使用額の多くは、研究打ち合わせと研究集会参加のための旅費に当てる。
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