2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05270
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
津田 照久 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (00452730)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | パンルヴェ方程式 / 無限可積分系 / 有理函数近似 / 離散力学系 / クラスター代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
線形常微分方程式のモノドロミーを不変に保ちながら特異点に於ける特性指数を整数だけずらす変換を Schlesinger 変換という。パンルヴェ方程式等のモノドロミー保存変形方程式にとっては，その離散的な対称性を与える重要な変換である。あるいは Schlesinger 変換そのものがパンルヴェ方程式の差分類似と看做せる。研究代表者は，あるクラスの Schlesinger 変換が Hermite-Pade 近似およびその双対問題たる Simulteneous-Pade 近似の方法によって構成できることを発見している（眞野智行氏との共同研究）。対象を確定特異点のみではなく不確定特異点をも許す一般的な状況で Schlesinger 変換とそれらに付随する有理函数近似問題について研究を行い，その一つの結果として，指数が特別ながらモノドロミー保存変形方程式のタウ函数（の比）が block-Toeplitz 行列式を用いた簡明な記述を許すことを発見した。これは眞野智行氏，石川雅雄氏との共著論文として本年度 Communications in Mathematical Physics 誌にて発表された。タウ函数が簡明に書かれるメカニズムに，Sylvester の公式の類似と看做せる行列式の恒等式の成立がある点が興味深いのだが，他の一般的な指数の場合に同様のメカニズムの成立があるか否かは，まだ未解決であり，今後も本研究にて考察して行く。
またパンルヴェ微分方程式のみではなく，その離散類似も大きな関心のある研究対象である。本年度は，増田哲氏，大久保直人氏との共同研究において，クラスター代数とグラフの組み合わせ的な議論を用いて，q-離散パンルヴェ方程式やその背景のワイル群対称性に関する大きな進展を得る事が出来た。今後の本研究の課題の大きな軸となるものと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究で得られた結果については，既に上梓した論文も含めて複数の論文を執筆中である。現在までの研究成果についても，平成３０年４月に中華人民共和国での国際研究集会で講演発表を行っており，評判は概ね好評であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は現在までのところ，概ね順調に進行しているので，研究の方向性は維持したまま，継続していく。とくに平成３０年度において，q-離散パンルヴェ方程式および，その背景にある一般的なワイル群の双有理変換による実現とクラスター代数との繋がりについて，組み合わせ的な議論を含んだ新しい視座を得ることができた。近年，微分方程式のみではなく各種の差分方程式の研究の重要性も高まっているので，来年度は差分類似の研究に重点的に取り組んでいく予定である。
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| Causes of Carryover |
いくつかの学会への参加を体調不良で控えたため，出張経費の分，未使用額が生じた。
次年度使用額については，令和元年度助成金と併せて例年京都大学で開催される可積分系の研究集会への参加の為の出張経費等として使用する見込みである。
なお，次年度の計画について大きな変更は生じないものと考えている。
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