2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05270
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
津田 照久 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (00452730)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | パンルヴェ方程式 / 無限可積分系 / 有理函数近似 / 離散力学系 / クラスター代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
線形常微分方程式のモノドロミーを不変に保ちながら特異点に於ける特性指数を整数だけずらす変換を Schlesinger 変換という。パンルヴェ方程式等のモノドロミー保存変形方程式にとっては，その離散的な対称性を与える重要な変換である。あるいは Schlesinger 変換そのものがパンルヴェ方程式の差分類似と看做せる。研究代表者は，あるクラスの Schlesinger 変換が Hermite-Pade 近似およびその双対問題たる Simulteneous-Pade 近似の方法によって構成できることを発見している（眞野智行氏との共同研究）。またこの結果は，対象を確定特異点のみではなく不確定特異点をも許す一般的な状況にも拡張される（眞野智行氏，石川雅雄氏との共著論文として発表）。本年度は，シューア多項式や普遍指標がパンルヴェ方程式等のモノドロミー保存変形方程式に現れる所以を有理函数近似の理論の枠組みで理解する研究を進めた。これについての論文は現在準備中である。また連続変数の方程式だけではなく，その離散変数類似も大いに興味を持って研究を進めている。また増田哲氏，大久保直人氏との共同研究において，クラスター代数とグラフの組み合わせ的な議論，所謂 mutation combinatorics を介したワイル群の双有理的な実現に関して研究を行った。付随する力学系のダルブー座標が如何に得られるか、またその「タウ函数」の正体は何か、という問題において大きな進展を得る事が出来た。今後の本研究の課題の大きな軸となるものと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究で得られた結果については，既に上梓した論文も含めて複数の論文を執筆中である。現在までの研究成果についても，令和元年７月にスペインでの国際研究集会で発表，また９月には金沢大学での日本数学会にて特別講演を行い，評判は概ね好評であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は現在までのところ，概ね順調に進行しているので，研究の方向性は維持したまま，継続していく。とくに本年度において，クラスター代数とグラフの組み合わせ的な議論を用いて，高次元版も含んだ q-離散パンルヴェ方程式とその背景にある一般的なワイル群の双有理変換による実現の繋がりが明確となった。タウ函数の特徴付けについても大分進展が見られたので、来年度はタウ函数の理論をクラスター代数において実現することの完遂を目指して研究を行う。
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Research Products
(3 results)
