2019 Fiscal Year Research-status Report
Reserarch on integrable structure of dynamical systems by geometric methods
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17K05271
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
竹縄 知之 東京海洋大学, 学術研究院, 准教授 (70361805)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 力学系 / 可積分系 / パンルヴェ方程式 / 代数幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はまずいくつかの4次元のパンルヴェ系について，その離散対称性を用いて岡本-坂井の意味での初期値空間を構成できることを示した．そのうちA5(1)型アファインワイル群の対称性を持つものと，A2(1)+A2(1)型アファインワイル群対称性を持つものに関して，ルーマニア物理核工学研究所の A. S. Carstea 氏と共同で一般理論とともに論文にまとめた（Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical に掲載）．2次元を超える次元での初期値空間の構成は先行研究がほとんどないか，あっても代数的な構造が不明であったが，本研究では2次元のときに坂井氏が行ったのと同様に，良くわかっている多様体（例えばCP1の直積）からブローアップのみで構成することにより，そのホモロジー・コホモロジーの構造が明らかであり，結果としてルート系がホモロジー・コホモロジー双対空間の中で自然に実現できることを示した．また，同様の手法は論文で取り上げた系以外にも適用可能であることがいくつかの計算例から分かっている．
次に，やはり A. S. Carstea 氏と共同でスーパー対称性を持つKdV方程式の力学系への簡約化について研究し，興味深い例として4次元の力学系であって，Grammaticos-Ramani特異点閉じ込めの可積分性判定条件は満たさないが，代数的次数の増大度が2であるものを発見した．これについてまとめた論文が，Journal of Physics に掲載された．また，この研究で得られた4次元力学系の「初期値空間」（正確には代数的に安定な空間）の構成及び応用について論文にまとめた論文が Springer Proceedings in Mathematics & Statistics に掲載可として受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように，4次元の双有理力学系に対して，その離散対称性を利用して初期値空間を構成する手法を確立し，それを論文としてまとめ，専門の論文誌に掲載した．これは本年度の計画通りである．また，特異点閉じ込めが成り立っていない場合についても代数的に安定な空間を作ることに成功した．これは当初の計画を上回る成果である．一方でもう一つの主たるテーマである，線形方程式との関係に関する幾何学的研究については準備段階である．
以上のことから，「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
第一に，高次元可積分系の初期値空間の構成について研究する．特に，ガルニエ系，Fuji-Suzuki-Tsuda系，Sasano系，行列パンルヴェ系，q-Garnier系について調べる．第二に，高次元力学系の非自励化の手法を完成させたい．特に係数が超楕円曲線の因子類上の加法に従うような例を見出したい．第一のテーマが方程式からそれが定義される多様体を構成するというものであるのに対し，第二のテーマは逆に多様体からそれに作用する方程式を構成するというものである．
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| Causes of Carryover |
本年度にパソコンを購入する予定であったが，想定よりも招聘費用がかさんだため，パソコンは次年度に購入することとした．
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