量子光学に関連した数理物理学的問題

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05272
• Research Institution: Komatsu University
• Principal Investigator: 田村 博志 公立小松大学, 生産システム科学部, 教授 (80188440)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 量子光学 / 散逸系 / マスター方程式 / Dicke Model / 熱平衡への緩和 / 完全正写像

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題は量子光学におけるスクイーズド光発生の制御に関連して、散逸効果を記述するマスター方程式を制御理論の立場から数学的に研究することが目的である。
当初の方針では初年度において、散逸を伴わない系の最も単純な場合つまり時間依存するハミルトニアンの下での単一調和振動子を扱い、続いて複合調和振動子系の制御を最大値原理を用いて議論を進めていく予定であった。しかし本研究課題全体を考えるとき、「制御」と「散逸」という２つの重点のうち散逸の取り扱い方にある程度の目途を付けることが先決であると判断した。
そこで先ず、時間依存しない単一調和振動子のマスター方程式にリンドブラッド型の散逸項を加えたものを扱った。この発展方程式の生成元に現れる２種の作用素（ハミルトニアンとの交換子と散逸項）の間の交換関係を基に生成元の固有値問題の解を与えた。この方法は先行研究に比べ、見通しが良い点が長所である。
次にこの方法の応用として、無限成分スピンと調和振動子の結合系を論ずるDicke 模型に散逸効果を加えた系を扱った。スピンと調和振動子の一種の組み換えによって散逸項なしの場合と同様に「衣付き」スピンと「衣付き」光子の分離が可能であることを示した。ここで、組み換えに用いる変換として数学的に扱いやすく物理的意味も明確な完全正トレース保存作用素を用いることが出来た。これによってマスター方程式の解の構造が明らかとなり、この系が物理的には不安定であることと、その崩壊過程を記述するスピンの漸近挙動の具体的表現を示した。この結果を論文として執筆し、現在学術誌に投稿中である。(arXiv:2003.02262)
また、複数の調和振動子系の散逸を扱うために同様な代数的方法として、生成消滅作用素の２次式で表される作用素の代数と行列群の間の関係を工夫することにより、散逸量子系を扱う簡明な方法を開発した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

初年度から２年度にかけて体調を崩したため、上記５に記述した Dicke model の解析に予想以上の時間がかかった。しかし、複合調和振動子の開放系の取り扱いの簡明な手法を見出したので、これまでの研究の遅れを取り戻すことが出来るのではないかと期待している。

Strategy for Future Research Activity

今後、本研究課題を遂行する上での重要な事項として次の３点が挙げられる：１）複数の調和振動子の結合系の散逸の一般論。２）スクイーズド光などを扱うためのハミルトニアンの一般化。３）制御のために生成元に時間依存を与えること。
１）についてはこれまで既に基本的な枠組みを明らかにした。２）ハミルトニアンを一般化することにより作用素の代数が広がるが、これを行列群のリー環との対比から整理する。３）については、有限個の生成元の時間依存する線形結合を生成元とする発展方程式にポントリャーギンの最大値原理を適応する。
最終年度は、１)を論文にまとめ、２）に目途をつけたのち、３）に手を付けたい。

Causes of Carryover

平成３１（令和元）年度は、私が研究機関を移動したための煩わしさや感染病の流行などによる出張の中止が重なり、若干の次年度使用額が生じた。これは、次年度の交付額とともに有効に使用されねばならないが、引き続く感染症の影響により外国出張などが難しく明確な使用計画を立てることは困難な状況である。