2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05279
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高山 信毅 神戸大学, 理学研究科, 教授 (30188099)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 多変数超幾何関数 / Wishart行列 / ２元分割表 / A-超幾何関数 / ねじれコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では統計への応用から生じた多重積分の問題の解決を目指して, 多変数超幾何方程式系を研究を進める. 下記の3タイプの多変数超幾何方程式系について以下のような結果が得られた. また以下の３方向の研究に関連するソフトウエアシステムを作成した. これは www.openxm.org にて公開中である.
一般の実 Wishart 行列の最大固有値の累積分布関数の Euler 標数近似の積分表示を与えた. 特に平均が0, 共分散がスカラー行列の場合はこの積分はラゲール多項式を含むある一重積分として表示できることを示した. またサイズが２で一般の平均と共分散を持つ場合にはこの積分は１１階の常微分方程式を満たすことを示しその数値解析により累積分布関数を計算した. プレプリント arxiv:1903.10099
2元分割表に対するある条件付き分布の正規化定数はA-超幾何多項式となる. この多項式およびその微分達を高速に厳密計算するさまざまな手法を与えた. プレプリント arxiv:1803.04170 を改訂予定. この結果をもとに高品質乱数を生成する一般的なアルゴリズムとその計算量を研究中である.
確定型A-超幾何関数に付随するtwisted cohomology群(ねじれコホモロジー群)の交点数がある線形微分方程式系を満たす有理関数であることを示しさらにこの方程式系の有理解全体の次元は1であることを示した. この結果により交点数を求めるアルゴリズムを与えた. プレプリント arxiv:1904.01253
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では統計への応用から生じた多重積分の問題の解決を目指して, 多変数超幾何方程式系を研究を進めている. この側面から最も重要な問題は ``解の数値を高い精度で得る'' ことである. Euler標数近似の場合も巨大なA-超幾何多項式の場合も, 微分方程式系の代数的手法による導出を経て, べき級数による高精度計算, 高速な整数計算, modular 法などを駆使して ``解の数値を高い精度で得る'' ことに成功している.
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| Strategy for Future Research Activity |
A-超幾何方程式系の解の接続公式を用いた計算手法を確立する.
統計学の研究者との議論を通じてさらに統計に出現する多重積分, 多重和の問題を探索する.
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| Causes of Carryover |
次年度に大学院生が国外学会にて発表予定があるため.
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