2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of multi-variable hypergeometric differential equations for statistics
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17K05279
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高山 信毅 神戸大学, 理学研究科, 教授 (30188099)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | A超幾何関数 / 分割表 / ねじれコホモロジー / オイラー標数法 / ランダム行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
パラメータを持つ正方行列に対して階乗の類似を定義し, その高速な正確計算アルゴリズム(中間簡約, binary splitting, multi-modular method)を与えた. 計算量の解析およびシステムの開発もおこなった. 応用として二元分割表に関する正規化定数の計算および条件付き最尤推定, また線形常微分方程式を満たす統計分布の正規化定数の安定的な計算などがある.
A超幾何系の与えられたねじれコホモロジー群の基底に対する Pfaffian 方程式を求める効率的方法を与えた. 応用としてねじれコホモロジー群の交点数の計算アルゴリズムを与えた. これによりある超幾何積分のあたらしい二次関係式を導出した.
m×n行列Aがある確率分布に従うとする. m-1次元球面の点g, n-1次元球面の点hに対して, g^T*A*h が x より大きくなるh*g^Tの集合ははランダム多様体となる. この多様体のオイラー標数の期待値を多重積分で表す公式を与えた. 行列がある条件の正規分布となる場合においては青本, 金子が研究した Selberg 型積分に関係することを示した. 4重積分となる場合は計算機とD加群のアルゴリズムを援用してそのパラメータ付き積分がみたす線形常微分方程式を求めた. 応用として共分散がスカラー行列, 平均が0であるウィシャート分布の最大固有値の分布の近似多項式(1F1型合流型超幾何多項式)を与えた. この公式により近似分布が極めて高速に計算できる.
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