2019 Fiscal Year Research-status Report
Characterizations of function spaces that preserve some results on martingales
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17K05291
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| Research Institution | University of Toyama |
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Principal Investigator |
菊池 万里 富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (20204836)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | マルチンゲール / Banach関数空間 / 弱空間 / ノルム不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成31年度に実施した研究により、離散時係数の一様可積分なマルチンゲールに関するBurkholderの弱型不等式が成り立つための必要十分条件を得ることができた。令和元年度は、この研究の進展を図り、Burkholder-Davis-Gundyの弱型不等式が成り立つBanach関数空間の特徴付け（そのようなBanach関数空間が満たすべき必要十分条件）を得ることができた。以下特に断らない限り、XをBanach関数空間とし、w-Xをその弱空間とする。平成31年度に研究したXにおけるBurkholderの弱型不等式は２種類ある。１つはマルチンゲールf=(fn)の2次変分Sfのw-Xにおける準ノルムをf=(fn)の概収束極限f∞のXでのノルムの定数倍で評価する不等式であり、他の１つは、f=(fn)の２次変分Sfと概収束極限f∞の立場を入れ替えた不等式である。この２種類の不等式が同時に成り立つようなXの特徴付けが既に得られている。令和元年度の研究で考察したBurkholder-Davis-Gundyの弱型不等式は、Burkholderの弱型不等式における概収束極限f∞を極大関数Mfに置き換えた２種類の不等式のことである。平成31年度の研究を基に研究を進め、令和元年度の研究の結果として、マルチンゲールf=(fn)の極大関数Mfのw-Xにおける準ノルムを２次変分SfのXにおけるノルムの定数倍で評価する不等式が成り立つBanach関数空間の特徴付けを得ることができた。
更に、XがBanach関数空間ではなく準Banach関数空間の場合も考察した。その結果、Xが準Banach関数空間の場合でも類似の特徴付けが得られることが明らかとなった。これら研究成果を論文にして発表するため、現在準備を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究成果は、論文として投稿中、あるいは投稿準備中である。掲載までにはまだ時間がかかると思われるが、研究自体に関しては、平成31年度の研究成果を更に発展させることができており、その過程で新たな知見を得ることができた。具体的には、これまで主にBanach関数空間とその弱空間におけるマルチンゲール不等式を考察の対象としてきたが、考察対象を準Banach関数空間とその弱空間におけるマルチンゲール不等式に拡張するための手法をほぼ確立できたと考えている。このことは、本研究課題の計画に盛り込まれた問題を、より一般的な設定で解決できる可能性があることを示唆するのみならず、これまで研究代表者が進めてきた他の研究成果をも拡張できる可能性があることを示唆する。研究の幅を広げることに繋がる成果が得られたと言ってよい。このことに鑑み、本研究はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究の進捗状況をおおむね順調に進展していると判断したものの、本研究課題において当初から予定していたFefferman型のマルチンゲール不等式が成り立つ準Banach関数空間の特徴付けの問題は、当初予想した以上に難しく、まだ解明されていない。この問題、及び、その周辺の問題を解決すべく研究を進めたい。
また、マルチンゲールfの2次変分Sfとfの概収束極限f∞の絶対値|f∞|によって生成されるマルチンゲールの２次変分に対する不等式が成立する準Banach関数空間の特徴付けに関しても、まだ成果が得られていない。この研究も同時に進めたい。
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| Causes of Carryover |
2020年3月に旅費として使用予定であった約100,000円が、新型コロナウイルスの感染拡大により使用できなかったため、これを次年度に使用することとした。次年度の経費ついて、当初の計画では主に旅費として使用する予定であったが、新型コロナウイルス感染拡大は、次年度にも影響を及ぼす可能性が高いと思われ、計画通りに旅費の使用ができないことも予想される。令和元年度には、Windows7のサポートが切れたことから、これまで使用していたコンピュータの１台が使用できなくなり、新たに１台購入したが、研究に使用している別のコンピュータも既に老朽化し、数式処理システムの処理が思うように作動しなかったり、作動しても予想外に時間がかかったりしている。これらのことに鑑み、旅費として使用することを計画していた経費の一部を老朽化したコンピュータの更新のために使用したい。
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