2017 Fiscal Year Research-status Report
分割型積分を含む非線形積分の収束定理の摂動法による統一的解析
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17K05293
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非加法的測度 / 非線形積分 / 摂動性 / 分布型積分 / 分割型積分 / 積分の収束定理 / Choquet積分 / 積分汎関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一様可積分な関数列に対する非線形積分の収束定理（Vitaliの収束定理の非線形化）について，非線形積分の中でも特に重要なChoquet積分の場合を重点的に研究し，以下の結果を得た．
１．Vitaliの定理の定式化に必須の概念である一様可積分性をChoquet積分に対して定式化し，一様可積分性は，一様積分有界性かつ一様絶対連続性と同値となることを示した．また，この事実は，他の非線形積分であるSipos積分やShilkret積分に対しても成立するが，Sugeno積分に対して成立しないことを示した．
２．Vitaliの収束定理を被積分関数列が各点収束する場合，概収束する場合，測度収束する場合の３つに分けて考察し，以下の結果を得た．（１）各点収束の場合は，非加法的測度μに対してVitaliの収束定理が成立するための必要十分条件は，μが連続，すなわち上から連続かつ下から連続である．（２）概収束の場合の必要十分条件は，μが連続かつ零加法的である．（３）測度収束の場合の必要十分条件は，μが自己連続である．また，有界収束定理の成立性についても全く同様の結果が成り立つことも示した．
３．Choquet積分に対するその他の収束定理として，単調増加／減少収束定理，優収束定理についても考察した．特に，優収束定理についても，被積分関数列の収束の種類に応じて次の結果が得られることを示した．（１）各点収束の場合は，μに対して有界収束定理が成立するための必要十分条件は，μが条件連続，すなわち上から条件連続かつ下から条件連続である．（２）概収束の場合の必要十分条件は，μが条件連続かつ零加法的かつ零連続である．（３）測度収束の場合の必要十分条件は，μが自己連続である．また，被積分関数列が測度収束する場合の単調増加／減少収束定理の成立性を考察するために，新たに上から（下から）単調自己連続性の概念を導入した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画「一様可積分な関数列に対する非線形積分の収束定理（Vitaliの定理の非線形化）」については，論文「The Vitali type theorem for the Choquet integral」がLinear and Nonlinear Analysis, Vol. 3 (2017), 349-365に掲載された．また，Choquet積分に対する収束定理（単調増加／減少収束定理，Fatouの補題，逆Fatouの補題，有界収束定理，Vitaliの収束定理，優収束定理）を網羅したサーベイ論文である「Convergence theorems of the Choquet integral for three types of convergence of measurable functions」がJosai Mathematical Monographs, Vol. 11 (2018), 55-74に掲載された．
他の研究計画についても予備的考察が順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
申請時の研究計画・方法に基づき研究を推進する．特に平成３０年度は下記の課題を重点的に研究する．
１．Choquet，Sipos，Sugeno，Shilkret積分などの分布型積分をその特別な場合として含む一般の非線形積分汎関数に対して，積分汎関数の摂動性を用いて，Vitaliの収束定理を定式化する．また，応用として，有界収束定理を導く．
２．積分汎関数に対する単調増加／単調減少測度収束定理を，新たに導入する単調自己連続性の概念を用いて再度議論し，従来の結果をより精密化する．
３．Lehrer積分（凹積分）などの分割型積分の収束定理に関して予備的研究を開始する．
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Research Products
(15 results)
