Stochastic evolution in random environment and its phase transition

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05295
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 吉田 伸生 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (40240303)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: directed polymer / random environment / branchig random walk

Outline of Annual Research Achievements

個々に研究されてきた模型を統合的に記述する枠組みを提唱し，線形確率成長模型(Linear stochastic evolution) と名付けた.更に，不純媒質内での高分子に 対する研究手法を一般化し，線形確率成長模型の枠組で次のような研究方針を打ち立て，検証を進めた. a1) 空間がI 次元，または2 次元なら全ての非自明なパラメーター領域(例えば0 ， 1 以外の全ての人口密度}で、総人口の増大は、その平均値に比べ真に遅い (非正規成長) .正確には総人口をその平均値で、割った比r(t) が時刻t 無限大の極限で零に概収束する.更にr(t) が指数的に小さい(Lyapunov 指数の正値性). a2) 空間が1 ， 2 次元なら全ての非自明なパラメーター領域で、局在が観測される。すなわち、人口は均等に拡散するのではなく特定の狭い領域に密集する. b1) 空間が3 次元以上の場合，パラメーターに応じて人口増大の速さに関する相転移が起る.例えば一定以上の人口密度を仮定すると，確率正でr(t) が正の極眼 を持つ(正規成長).一方，一定以下の人口密度では低次元の場合と同様にr(t) は零に概収束する. b2) 空間が3 次元以上の場合3 パラメーターに応じて局在/拡散の相転移が起る.例えば一定以上の人口密度を仮定すると人口の拡散は均等であるーより数学的に は，人口の分布に関する中心極限定理が成立する。一方，一定以下の人口密度では低次元の場合と同様な局在が発生する.

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

理由 当該研究分野は近年までに急速な発展を遂げる中，手を付けやすい問題は既にほぼ解決し尽くされている．この先さらに研究を進めることは次第に困難になりつ つある．加えて，諸事情により，研究活動に使う時間が限られてしまった．

Strategy for Future Research Activity

線形確率成長模型の枠組で以下のような研究方針を打ち立て，検証を進める． a1) 空間がI 次元，または2 次元なら全ての非自明なパラメーター領域(例えば0 ， 1 以外の全ての人口密度}で、総人口の増大は、その平均値に比べ真に遅い (非正規成長) .正確には総人口をその平均値で、割った比r(t) が時刻t 無限大の極限で零に概収束する.更にr(t) が指数的に小さい(Lyapunov 指数の正値性). a2) 空間が1 ， 2 次元なら全ての非自明なパラメーター領域で、局在が観測される。すなわち、人口は均等に拡散するのではなく特定の狭い領域に密集する. b1) 空間が3 次元以上の場合，パラメーターに応じて人口増大の速さに関する相転移が起る.例えば一定以上の人口密度を仮定すると，確率正でr(t) が正の極眼 を持つ(正規成長).一方，一定以下の人口密度では低次元の場合と同様にr(t) は零に概収束する. b2) 空間が3 次元以上の場合3 パラメーターに応じて局在/拡散の相転移が起る.例えば一定以上の人口密度を仮定すると人口の拡散は均等であるーより数学的に は，人口の分布に関する中心極限定理が成立する。一方，一定以下の人口密度では低次元の場合と同様な局在が発生する.

Causes of Carryover

昨年度は近距離出張が多かったため支出が抑制された．今年度は数回の遠距離出張の予定があるため，使い切る見込みである．