2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05296
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (70244671)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Mandelbrot集合 / Julia集合 / 擬等角写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連携研究者の協力の下，本年度得た主な成果は次のとおりである：
(1) Mandelbrot集合において，一般の放物型周期点を持つ2次多項式に対応するパラメータの近傍を拡大していくと，対応するJulia集合を摂動して得られるCantor型のJulia集合に似た構造とそれによる入れ子構造（「decoration」と呼ぶ）が見られ，最終的には「小さいMandelbrot集合」が出現する．この現象は，入れ構造に対するモデル集合を定義し，ある擬等角写像によるその集合の像として現れる，という定式化で説明できる．(2) 同様の入れ子構造がMisiurewicz 点（＝2次多項式のの臨界点0がpreperiodic，即ち，1 回以上写像で動かすと周期点に落ち着くようなパラメータ値）の近傍の拡大についても現れる．(3)(1)にある「小さいMandelbrot集合」に属するパラメータに対するJulia集合には(1)に現れたのと同様の入れ子構造が存在する．(4)(2)のMisiurewicz点をうまく選ぶと，現れる入れ子構造は歪曲度が1にいくらでも近いような擬等角写像による像になっている．(5)(1)や(2)で得られる「decoration」に属するパラメータに対する力学系はsemihyperbolicという性質を持つ．またこれからsemihyperbolicだがMisiurewiczやhyperbolicでないパラメータがMandelbrot集合の境界に稠密に存在することがわかる．(6)(4)と(6)の結果を組合わせることによって，「Mandelbrot集合の境界のHausdorff次元は２である」という宍倉による有名な結果に対して「Mandelbrot集合の境界にはCantor型のJulia集合の擬等角写像による像で，Hausdorff次元が２にいくらでも近いようなものが見えるから」という，非常にわかりやすい説明をつけることができるようになった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
紆余曲折はあったが，１年前に「研究実施計画」に述べていた「目標」のかなりの部分を達成できたと言えると思う．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は２次多項式族に関する研究は継続しつつ，超越整関数の力学系の研究，特にJulia集合の位相的性質の研究への取り組みも開始する．２次多項式族に関する研究については例えば，上記(1)，(2)の現象は考えているパラメータの近傍で列を成して無限個現れるが，その現れ方やスケールの漸近的性質の考察を行う．コンピュータグラフィックスによる実験で予想を立てるところから始めたいと考えている．また課題解決の考察をしているうちに他のおもしろい現象や新たな問題を発見することも十分考えられる．当初の実施計画にあるもののみを考察するようなことはせず，このような発見があった場合は臨機応変に対応する予定．
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