2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05296
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (70244671)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 超越整関数 / Julia集合 / Fatou集合 / Sierpinskiカーペット |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連携研究者たちの協力の下，本年度に得た主な成果は次のとおりである：超越整関数ｆのジュリア集合がシェルピンスキーカーペット（即ち，全疎である連結かつ局所連結なコンパクト集合で，その補集合の各成分の境界が互いに交わらないジョルダン閉曲線になるもの）となるための１つの十分条件（即ち，（１） f のファトウ集合の各連結成分は有界であり，その境界はｆの特異点の軌道を含まない，（２）ｆのファトウ集合には遊走領域は存在しない，（３） ｆのファトウ集合の各連結成分のうち周期的なものは，有限個の吸引領域だけから成り，しかもそれらの境界は互いに交わらない，（４） ファトウ集合内の特異点の軌道は全て（３）の有限個の吸引領域に含まれる）を得た．またこの条件を満たす具体例が存在することを次のようにして示した：双曲型である多項式Ｐで，そのファトウ集合の有界な連結成分がいくつかの吸引領域とその逆像だけから成り，それらが互いに交わらない，という条件を満たすものを与えると，それに対して，超越整関数ｆでＰの力学系を部分力学系として含み（即ち，適当な円板へのｆの制限がある擬等角写像によってＰと共役となる），しかもｆのジュリア集合がシェルピンスキーカーペットとなるようなものが存在することを示した．更にこのような超越整関数ｆを関数の増大度の観点からは，ある意味で多項式にいくらでも近いようなものとして構成することもできることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
２次多項式族に関する研究については，予定ではMandelbrot集合に関する前年度の成果に続く結果を得ようとしたが，目立った結果は今のところまだ得られていない．また超越整関数のJulia集合の位相的性質に関する研究については，過去に得た成果からの多少の進展はあったものの，満足のいく結果までは得られていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は２次多項式族に関する研究は依然継続しつつ，超越整関数の力学系の研究，特にJulia集合の位相的性質の研究も引き続き行う．また課題解決の考察をしているうちに他のおもしろい現象や新たな問題を発見することも十分考えられる．当初の実施計画にあるもののみを考察するようなことはせず，このような発見があった場合は臨機応変に対応する予定である．
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| Causes of Carryover |
次年度繰越ができない校費があり，それを優先して使った結果である．繰り越した助成金は次年度の助成金と共に，旅費は前年度と同程度かそれ以上に，また物品費は前年度よりかなり多く使用する予定である．
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