2020 Fiscal Year Research-status Report
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17K05296
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (70244671)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 超越整関数 / Julia集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は当初の計画の（I)の一部と（II)の「整関数の（自然な）パラメータ族の中での多様性」に関する研究を行った．（II)で当初の計画ではパラメータ空間を設定してその構造を調べる予定であったが，それ以前に一般の複素力学系のJulia集合においてどのような多様性が認められるかについて考察してみることにした．（I)については進展はあまり見られなかった．（II）について得られた主な結果は次の通りである：「2つの整関数f, gが可換であるとき，それらのJulia集合は一致するか？」という未解決問題がある．これは与えられたfに対して「可換である」という条件はgのJulia集合を決定してしまう，即ち少なくとも相空間の多様性に制限がかかることを示している（力学系的な多様性という点では可換でJulia集合が一致していても，fとgのFatou集合上での力学系は異なる，という例は知られている）．この問題に対しては今まで多数の研究があるが，本研究では「fとgが可換でしかも不動点を共有している」という状況を考察した．これはgがfの反復合成のときには自明に成り立っている状況である．このとき
・共有している不動点の力学系的性質（吸引，反発，放物型，Siegel，Cremer）は一致する．
・共有している不動点がCremerでなければ，fとgのJulia集合は一致する．またCremerのときでも，不動点の乗数がある条件を満たしている状況では，やはりfとgのJulia集合は一致する．
・共有している不動点の力学系的性質のそれぞれの場合について，更に乗数がある条件を満たせば，fとgは共通の反復合成を持つ．即ち，ある自然数m, nが存在し，fのm回合成とgの
n回合成は一致する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初主目的としていた２次多項式族に関する研究には，初年度以降にはあまり進展が見られていない．また超越整関数のJulia集合の計量的性質に関する研究については，考察はしているもののまだ目立った成果が上げられていない．整関数の族の中での多様性についてはパラメーター空間の研究にまでは至っていないが，例えば昨年度の成果や上記の実績の概要で述べたような成果は上がっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も主目的である２次多項式族に関する研究は依然継続しつつ，超越整関数の力学系の研究，特に有限型超越整関数の力学系の多様性について引き続き考察したい．場合によっては超越有理型までクラスを広げて考える方が良いと考えている．またJulia集合の位相的性質・計量的性質の研究も引き続き行う．また課題解決の考察をしているうちに他のおもしろい現象や新たな問題を発見することも十分考えられる．当初の実施計画にあるもののみを考察するようなことはせず，このような発見があった場合は臨機応変に対応する予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの感染拡大により，２０２０年度に参加予定であった研究集会は全て中止またはオンライン開催となったため，予定していた旅費・滞在費が使えなくなってしまった．繰り越した助成金は次年度の助成金と共に，旅費は２年度前の半分程度，また物品費は前年度より多く使用する予定である．ただし旅費に関しては状況次第では再び予定通りには使えなくなる可能性がある．現状（２０２１年４月末現在）ではこれからまだ半年程度は旅費・滞在費を使うことは無いように思われるので「２年度前の半分程度」としている．
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Research Products
(2 results)
