2023 Fiscal Year Annual Research Report
Diversity of the dynamics of polynomials and transcendental entire functions
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17K05296
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (70244671)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 超越整関数 / Julia集合 / Fatou集合 / Julia成分 / Fatou成分 / 擬等角写像 / 中立サイクル / 多項式類似写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(I)「個々の超越整関数の力学系の多様性について」と(II)「整関数の(自然な)パラメータ族の中での多様性」に関する研究を行った．(I)：多重連結な遊走領域を持つ超越整関数 f について，Julia集合の連結成分の位相的性質について考察した．主結果は「C を f のJulia成分でその軌道が有界であるとき，ある多項式 P が存在して C は P のあるJulia成分に同相で，更に同相写像は擬等角写像ととれる．」鍵となるのは次の結果である：「上記の f について， f を何回か合成した力学系は適当な領域上で多項式類似写像になる」．またこの結果の応用として次の結果を得た：「超越整関数 f が軌道が有界な遊走領域を持つとすると，f は多重連結な遊走領域を持たない．」(II)：以前に得ていたMandelbrot集合の構造に関する結果について，特にparabolic caseで証明の改善を行った．
全期間を通じて得た成果を類別すると：
(1)多項式の力学系について：Mandelbrot集合の構造に関して当初コンピュータグラフィックスで捉えていた現象を数学的に定式化して証明することができた．その結果，「Mandelbrot集合の境界のHausdorff次元は２である」という宍倉による有名な結果に対して「Mandelbrot集合の境界にはCantor型のJulia集合の擬等角写像による像で，Hausdorff次元が２にいくらでも近いようなものが見えるから」という，非常にわかりやすい説明をつけることができるようになったのは大変意義がある．
(2)超越整関数の力学系について：Julia集合の位相的性質，Speiser classの力学系について，特に中立サイクルを持つ場合の性質について，様々な結果を得た．一般論から具体例の構成まで，様々な多様性の一端を多少なりとも明らかにできた．
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