2017 Fiscal Year Research-status Report
シュレディンガー形式と重み付きマルコフ過程の確率解析
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17K05304
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
金 大弘 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (50336202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Feynman-Kac functionals / Lp independence / Feynman-Kac semigroup / gaugeability / stablity / scattering length / discrete spectrum / Schrodinger operator |
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| Outline of Annual Research Achievements |
零エネルギーをもつ非局所型ファインマン・カッツ汎関数を重みとしてもつ確率過程の様々な確率論的主張およびその周辺の応用問題に対して、ディリクレ形式論やポテンシャル論といった関数解析的取り組みを通じて以下の研究を行った。
(1) 零エネルギーをもつ非局所型ファインマン・カッツ汎関数により定まるゲージ関数の可積分性とその解析的特徴付けを行った。研究成果は、Transaction of the American Mathematical Society, Vol. 369(7) (2017), 4545-4596 にて掲載された。(2) 零エネルギーをもつ非局所型ファインマン・カッツ汎関数のゲージ関数の可積分性を特徴付ける解析的な量として、最も一般的な枠組みでの判定条件、並びに同値条件などを明らかにした。研究成果は Mathematische Annalen, Vol. 370(1-2) (2018), 1-37 にて掲載された。(3) 零エネルギーをもつ非局所型ファインマン・カッツ半群におけるLp独立性に対して、既存の結果をはるかに含むより良い結果を得た。研究成果は Mathematische Annalen に掲載予定。(4) 一般化されたシュレディンガー作用素の熱核の安定性における最も一般的な枠組みでの判定条件、並びに同値条件などを究明した。研究成果は現在審査中。(5) 非局所型ファインマン・カッツ汎関数をポテンシャルとしてもつシュレディンガー作用素の散乱長公式を明らかにして、そのシュレディンガー作用素が離散スペクトルをもつための解析的特徴付けを与えた。研究成果は現在審査中。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の主な研究方向は、一般化ファインマン・カッツ汎関数を摂動としてもつシュレディンガー作用素の半群の熱核の安定性とLp独立性について、様々な確率論的主張およびその周辺問題への応用を念頭においたものであった。
ディリクレ形式論やポテンシャル論といった関数解析的取り組みを駆使し、これまでの研究成果を土台にして進行させた関連周辺応用問題に関する一連の研究は、一般化された非局所型ファインマン・カッツ汎関数の重みをもつ対称マルコフ過程が示す特異的な性質の確率論的理解を明確にしたと考えられる。
以上のことで、一般化ファインマン・カッツ汎関数を重みとしてもつ確率過程に対する新しくより見通しの良い解析学的理論展開を構築する当初の研究目標は一定部分達成できたように思える。また、本年度の研究を進行させていくうちに必然的に思いついた問題として、シュレディンガー作用素の散乱長を経由する離散スペクトル性の特徴付け問題はこれからも多くの発展の余地が伺える重要でかつ興味深いものであった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果を踏まえて、一般化ファインマン・カッツ汎関数を摂動としてもつシュレディンガー作用素における様々な解析と、その結果がもたらす確率論的立場からの意味について注意深く研究を進行していきたい。特に、以下に示す問題を明らかに究明したいと考えている。
(1) 一般化ファインマン・カッツ汎関数を摂動としてもつシュレディンガー作用素に関するスペクトル問題。(2) 一般化ファインマン・カッツ汎関数を摂動としてもつシュレディンガー形式論とマルコフ過程。(3) 多次元ランダム環境をもつ直積確率過程における大域的性質。
なお、これらの問題については既に一部分結果を得ている。
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