2019 Fiscal Year Research-status Report
Research for decay and blow-up of solutions to nonlinear Schrodinger equations
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17K05305
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 偏微分方程式 / 解の漸近挙動 / 解の減衰評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究論文：査読付きのものとして, 2編の論文を雑誌に掲載した。それらのうち一方は, 非線形シュレディンガー方程式(NLS)の解のL^∞減衰オーダーの最適性に関するもので, Journal of Applied Science and Engineering A に掲載され出版済みである。この研究は,光ファイバー内部を伝わる信号の形状変化を数学的に解明するもので, 光ファイバーによる情報伝達がどれくらいの距離まで可能なのか理論的に予測する際に有効である。今後の研究の方向性として「空間次元の高次元化」と「L^q減衰オーダーの最適性」が挙げられる。他方の論文は, 中村能久氏（熊本大学）との共著で, 行列値の未知関数を含むNLSの解の漸近挙動に関するもので, Linear and Nonlinear Analysis (Yokohama Publ. Special Issue) に掲載され出版済みである。この方程式は,ボーズ・アインシュタイン凝縮流体中の粒子のスピン状況を予測するものである。研究結果として,非線形項の係数の関係に応じて, 時刻無限大における解の振る舞いが修正付きの自由状態になったり,修正無しの通常の自由状態になったりすることがわかった。
研究成果の発表：①4月上旬にモンゴルにて開催された国際研究集会FICASEにおいて, NLSの解のL^∞減衰オーダーの最適性について講演した。②7月中旬にロシアで開催された国際workshopにおいて,1次の消散項を含むNLSの解のL^∞減衰オーダーの最適性について研究成果を発表した。③10月下旬にモンゴルで開催された国際共同workshopにおいて, δ関数を初期値にもつNLSの時間大域解の存在について講演した。④11月中旬に中国で開催された工学workshopにて,δ関数を初期値にもつNLSの時間大域解の存在について講演した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
R1年度に海外の研究集会に出席する機会を多く得ることができたので、研究活動に専念できたことが大きな理由。海外に出張することで、日本国内にいると舞い込んでくる会議出席や学生の教育義務から解放されるという利点がある。ただし、その代償として所属大学の講義を数多く休講にすることになってしまった。学生による授業改善アンケートでは「休講が多く、シラバスに記載されている目標を達成できたかどうか疑問を感じる」と酷評されてしまった。R2年度には、研究活動に加えて教育活動にも意識を割く必要を痛感している。対策として、出張による休講時にはオンラインにupした講義資料に目を通してもらう形で講義を進行するように心がける。R2年度は初頭から世界的に蔓延しているコロナウィルスの影響で、授業の開始が遅れ、なおかつオンラインで講義を行うことになった。この機会を利用して、自分の講義のオンライン資料を作成していくつもりである。
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| Strategy for Future Research Activity |
【今後の推進方策】①NLSの解の減衰オーダーが最適なものであるかどうか,当初はL^∞ノルムで考察していたが,これをL^qノルムに拡張して考察を進める。実は,L^2ノルムによる解の減衰オーダーについて若手の研究者が結果を出している。それによると,減衰オーダーがデータの正則性に依存することが知られている。しかし,最適と思われている減衰オーダーには届いていない実情もある。研究の方向性として,最適な減衰を示すデータの必要条件を見出すことが挙げられよう。②G.P.Agrawalによって1990年代に提出されたNLSについて,解の挙動が未だによくわかっていない。最近,反応拡散方程式の研究者がよく用いる解析手法が適用できるのではないかと思うようになってきたので,定常解の安定性解析を行う予定である。この目的のために,反応拡散方程式の研究者と研究集会を共同開催することが有益であると思うようになった。③データが空間遠方で悪い減衰を示す状況でNLSの解の漸近挙動を捉えたい。既存の結果では,データが十分早く減衰することが仮定されているが,これを緩めることによって,解が漸近自由か否かの分かれ目となる非線形項のベキ（臨界指数）が1+2/nから変わることが期待される。似たような問題をNishihara-Narazakiが非線形波動方程式で取り扱っているので,この理論がNLSにも適用可能かどうか研究を行いたい。
【課題】コロナウィルスの蔓延で海外の研究集会への出席が今後難しくなることが予想される。しかし、ZOOMなどを活用してオンラインで研究集会を開催するという工夫も出始めているので、この風潮に乗り遅れないように心がける。現在、所有しているコンピュータ―にはカメラ機能が付随していないので、ZOOMに対応するためにカメラ機能付きのPCを購入することになりそうである。
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| Causes of Carryover |
R1年1月下旬あたりからコロナウィルスが世界的に蔓延し、その感染拡大防止のために2月下旬から3月にかけて予定されていた研究集会や学会がことごとく中止になってしまった。そのために予定していた旅費を使用することができなくなった。物品購入に充てようとしたが、これもまたコロナウィルスの影響で納品が3月下旬に間に合わないことが判明したので、断念せざるを得なかった。R1年度の剰余分をR2年度に繰り越すことで、カメラ機能付きのPCの購入、そしてZOOMの契約に充当する予定である。なお、ZOOMの契約については、今後オンライン上での研究集会やセミナーの開催が予想されることから、それに備える意味合いがある。
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| Remarks |
研究集会名：FICAE, Japan-Mongolia Joint Workshop on Pure and Applied Mathematics
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