2021 Fiscal Year Research-status Report
Research for decay and blow-up of solutions to nonlinear Schrodinger equations
| Project/Area Number |
17K05305
|
|---|
| Research Institution | Kumamoto University |
|---|
Principal Investigator |
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 消散型非線形シュレディンガー方程式 / 解の減衰オーダー / 解の漸近挙動 / 増幅型非線形シュレディンガー方程式 / 解の爆発 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
【実績】非保存系の非線形シュレディンガー方程式（非線形項に含まれる係数が一般化されて複素数になっているもの）について、①非線形項が消散効果を有する場合に、解のL^2ノルムの最適な減衰オーダーを特定した(東北大学・佐藤拓也氏との共同研究・数学雑誌Asymptotic Analysisに掲載決定)。②非線形項が増幅効果を有する場合に、解のL^2ノルムが有限時刻で爆発することを示した(モンゴル科技大主催の国際研究集会の査読付きproceedingに投稿中)。【概要】①の成果では、空間1次元、3次の消散型非線形項をもつシュレディンガー方程式の初期値問題で、解のL^2ノルムの減衰オーダーがどこまで大きくなるのか、限界のオーダーを特定することに成功した。かねてより、小さな解のL^2ノルムは O((log t)^{-1/2}) のオーダーよりも早く減衰しないことが予想されていた(このオーダーよりも早い減衰を示す小さな解は自明解のみ)。今年度の成果では、この予想が正しいことを証明したことになる。証明の際に必要になる道具は「解のL^∞ノルムの精密な評価」である。②の成果では、空間1次元、3次の増幅型非線形項をもつシュレディンガー方程式の初期値問題で、L^2ノルムが有限時刻で爆発する解の存在を証明した。証明の手法は「爆発解のprofileの構成」と「このprofileに摂動をつけてエネルギー法による解の構成」および「a priori評価による解の過去への延長」である。Cazenave-Martel-Zhaoによって大きな初期データを有する爆発解が構成できる結果が知られていたが、今回の成果では「小さな初期データでも」有限時刻の爆発するような解の存在を証明することができた。この結果に①の解の減衰オーダーの結果を組み合わせて、初期値のサイズから爆発時刻を見積もること（ライフスパンの評価）ができる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
消散型非線形シュレディンガー方程式について、予想されていた未解決問題を解くことができた。今回の成果では、空間1次元、3次の非線形項のように具体的な状況下で問題を解決できたので、今後は空間次元と非線形項のべきを一般化する方向で研究を進めることができる。2020年度にコロナ対応で教育にエネルギーを費やしたときにオンライン講義資料を作成していたので、2021年度は教育でこの資料を活用することで研究時間を多く確保できた。これが研究を順調に進展させた要因であろう。加えて、東北大学の研究員・佐藤拓也氏が研究に参入し、共同で解の減衰評価を行うことができた。そのお蔭で、論文の生産数が飛躍的に伸びた。
|
| Strategy for Future Research Activity |
消散型非線形シュレディンガー方程式で未解決問題を１つ克服することで、その時に用いられたアイデアがどこまで抽象的な方程式に対して適用できるのかという点で、研究の方向性が見えてきた。また、研究成果を数学雑誌に投稿した際に、レフェリーから新しい問題意識を提示していただいた。それは「エネルギーの集中を引き起こす非線形効果を消散項がどこまで緩和できるか」という問題意識である。この見方はヨーロッパの数学者が最近取り組んでいるテーマになっている。今後は、非線形カー効果を意味する非線形項と消散型非線形項の「どちらが解の漸近挙動を支配するのか」という路線でも研究を進めていくことになる。
|
| Causes of Carryover |
【理由】コロナウイルスの感染拡大が続き、旅費使用の計画が大幅に狂いを生じてしまったため。すでに、科学研究費の使用期間延長の手続きを済ませてある。【使用計画】2022年度にはワクチンの接種等により、行動範囲を広げることが可能になるため、学会や研究集会への出席、および共同研究のための他大学出張・研究者の招聘により研究費の消化に努める。
|
Research Products
(3 results)
-
-
-
[Book] 微分積分学入門2022
Author(s)
辻川亨, 北 直泰
Total Pages
264
Publisher
学術図書出版社
ISBN
978-4-7806-0903-5
